Question

【題目】已知：直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=x2+bx+c經過點A、B，且交x軸于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線上一點，且點P在AB的下方，設點P的橫坐標為m．

①試求當m為何值時，△PAB的面積最大；

②當△PAB的面積最大時，過點P作x軸的垂線PD，垂足為點D，問在直線PD上否存在點Q，使△QBC為直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的Q的坐標若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）①當m=3時，△PAB的面積最大，最大值是9，②在直線PD上否存在點Q（3，）或（3，﹣），使△QBC為直角三角形．

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標，再利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）①過點P作PD⊥x軸于D，交AB于點E，設點P的橫坐標為m，則點P的坐標為（m， m2﹣m﹣3），點E的坐標為（m， m﹣3），進而可得出PE的長度，再利用三角形的面積公式即可得出S△PAB=﹣m2+6m，利用配方法即可解決最值問題；

②利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，設點Q的坐標為（3，y），則CQ2=（）2+y2，BC2=9+，BQ2=9+（y+3）2，分∠QCB=90°、∠CBQ=90°及∠CQB=90°三種情況，利用勾股定理即可得出關于y的方程，解之即可得出結論．

（1）∵直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A、B，

∴點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，﹣3）．

將A（6，0）、B（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3．

（2）①過點P作PD⊥x軸于D，交AB于點E，如圖1所示．

設點P的橫坐標為m，則點P的坐標為（m，m2﹣m﹣3），點E的坐標為（m，m﹣3），

∴PE=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+2m，

∴S△PAB=×PE×（AD+DO）=×（﹣m2+2m）×6=﹣m2+6m=﹣（m﹣3）2+9，

∴當m=3時，△PAB的面積最大，最大值是9．

②當y=0時，有x2﹣x﹣3=0，

解得：x1=﹣，x2=6，

∴點C的坐標為（﹣，0）．

設點Q的坐標為（3，y），

則CQ2=（）2+y2，BC2=9+，BQ2=9+（y+3）2．

當∠QCB=90°時，有CQ2+BC2=BQ2，

即（）2+y2+9+=9+（y+3）2，

解得：y=；

當∠CBQ=90°時，有BC2+BQ2=CQ2，

即9++9+（y+3）2=（）2+y2，

解得：y=﹣；

當∠CQB=90°時，有BQ2+CQ2=BC2，

即（）2+y2+9+（y+3）2=9+，

方程無解．

綜上所示：在直線PD上否存在點Q（3，）或（3，﹣），使△QBC為直角三角形．