Question

如圖所示，一個與平臺連接的足夠長斜坡傾角θ=ansin

1

30

，一輛卡車的質量為l_t．關閉發動機，卡車從靜止開始沿斜坡滑下，最大速度可達120km/h，已知卡車運動過程中所受空氣阻力和地面阻力與速度成正比，即f=kv．
（1）求出比例系數k；
（2）現使卡車以恒定功率P沿斜坡向上行駛，達到的最大速度為54km/h，求功率P；
（3）當卡車開上平臺后，繼續保持此恒定功率行駛40s，重新勻速行駛，求卡車開上平臺后到勻速行駛的過程中克服阻力所做的功．

Answer 1

分析：卡車在斜面上下滑時，當阻力和重力分力平衡時卡車速度最大，依列式求解即可，當卡車沿斜面向上行駛時，牽引與阻力以及重力的分力平衡，根據平衡求得此時的牽引力，再根據P=FV求得卡車此時的功率；當卡車沖上平臺后，因牽引力大于阻力，故卡車將做加速運動，由于卡車功率一定，故隨著速度的增加卡車的牽引力將減小，當牽引力與阻力平衡時卡車將開始做勻速運動，此時的速度即為卡車以該功率運動時的最大速度．在這一過程中卡車發動機做的功W=Pt，阻力做功W_f，則合外力做的功等于卡車動能的變化．列式求解即可．

解答：（12分）解：（1）卡車沿斜面下滑時受到沿斜面向上的阻力，當汽車所受阻力與重力沿斜面向下的分力大小相等時，汽車具有最大速度，所以有：
mgsinθ=kv_m
則根據題意有：k=

mgsinθ

vm

=

103×10× 1 30 N

120 3.6 m/s

=10Ns/m
（2）汽車沿斜面向上行駛時，沿斜面方向受到向上的牽引力F和沿斜面向下的阻力f和沿斜面向下的重力分力mgsinθ，當汽車速度最大時有：
F=f+mgsinθ
根據題意有當汽車速度最大時汽車所受的阻力為：f=kv_m
所以有汽車速度最大時的牽引力：F=kv_m+mgsinθ
根據P=FV得此時汽車的功率：P=Fv_m=k

v

2 m

+mgsinθvm=10×(

54

3.6

)2+103×10×

1

30

×

54

3.6

W=7250W．
（3）卡車開上平臺后，受牽引力和阻力作用，卡車先做加速度逐漸減小的加速運動，當汽車牽引力等于阻力時卡車做勻速直線運動，令此時卡車速度為v₂
則根據題意有：此時卡車牽引力：F₂=f₂=kv₂
卡車的功率：P=F2v2=k

v

2 2

故有：

P

k

=

v

2 2

卡車平臺上運動40s的過程中對卡車使用動能定理有：
Pt+Wf=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

Wf=

1

2

m(

v

2 2

-

v

2 1

)-Pt
代入數據得：Wf=-4×104J
故克服阻力做功為4×10⁴J
答：（1）比例系數為10Ns/m；
（2）現使卡車以恒定功率P沿斜坡向上行駛，達到的最大速度為54km/h，求功率為7250W；
（3）當卡車開上平臺后，繼續保持此恒定功率行駛40s，重新勻速行駛，求卡車開上平臺后到勻速行駛的過程中克服阻力所做的功為4×10⁴J．

點評：本題要注意在第一問中比例系數K是有單位的，二是卡車運動速度最大時牽引力和阻力大小相等；三是熟練利用動能定理求解卡車在平臺上的變速運動問題．