Question

【題目】在不少旅游景點里都設置了一種速降的游樂項目：從山上高處向山下低處安裝一根鋼索，人坐在吊籃里通過繩索和滑輪沿著傾角為θ的鋼索快速下滑，如圖a所示。理想情況下，下滑時的加速度大小等于g sin θ，穩定的運動狀態下，即滑輪、繩索、人（包括吊籃在內，下同）組成的系統保持相對靜止時，繩索與豎直方向間的夾角也等于θ。但實際上有兩個原因使得加速度要變小，并且繩索與豎直方向間的夾角一般不等于θ，原因之一是滑輪并非理想的無摩擦，原因之二是空氣阻力不能忽略。設滑輪的質量為M，人的質量為m，繩索的質量相對滑輪和人來說可以忽略，滑輪與鋼索間的摩擦因數為μ，人運動過程中受到的空氣阻力等于人的重力的k倍，滑輪運動過程中受到的空氣阻力不計。試通過計算討論：在穩定的運動狀態下，有沒有可能繩索與豎直方向間的夾角α＝θ，但加速度的值小于g sin θ？如果有可能，請指出必須滿足的條件；如果沒有可能，請說明理由。

Answer 1

【答案】只要滿足，且μ ≠ 0，k ≠ 0，則α＝θ，且a< g sin θ。

【解析】

有可能α＝θ，且a< g sin θ

滑輪和人（包括吊籃在內）分別看作質點，其受力示意圖如圖。

以沿鋼索向下為x正方向、垂直鋼索向下為y正方向建立平面直角坐標系。分別列牛頓第二定律方程的分量式：

Mg cosθ+N2 cos(θ-α)-N1=0 ①

Mg sinθ+N2 sin(θ-α)-μN1=Ma ②

mg cosθ-N2 cos(θ-α) =0 ③

mg sinθ-N2 sin(θ-α) -kmg=ma ④

解以上四式，得

則只要滿足，且μ ≠ 0，k ≠ 0，則α＝θ，且a< g sin θ。