Question

【題目】如圖所示，在豎直平面內有一直角坐標系，在坐標系的第二象限內有一粗糙曲面軌道，在第一象限內有一半徑為的光滑半圓弧軌道（圓心在軸上），它們恰好在點平滑連接．現讓一質量為的小球（可視為質點）從左側距軸豎直高度為的點由靜止釋放，到達點時的速度大小是，已知重力加速度為．求：

（）小球由到克服摩擦力做的功；

（）小球到最高點時對軌道的壓力；

（）若所有軌道均光滑，且左側軌道滿足的方程為，要使小球能過圓弧軌道的最高點，求小球從左側軌道由靜止釋放的最低位置坐標．

Answer 1

【答案】（）mgR；（）mg，方向向上；（）．

【解析】（）小球由到，由動能定理得：

據題

解得，小球克服摩擦力做的功

（）小球由到，由動能定理得：

在點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律得：

聯立解得

由牛頓第三定律知，小球在點對軌道的壓力大小為，方向向上．

（）規定思所在平面勢能為零，設釋放的最低位置坐標為， 點的最小速度為．

對全過程，運用機械能守恒定律得：

在點，有

聯立得

將代入拋物線方程，得

所以，最低位置坐標為．