Question

如圖所示，半徑為R的半圓柱形玻璃磚，放置在直角坐標系xOy中，圓心與坐標系原點O重合．在第二象限中坐標為（-1.5R，

3

2

R）的點A處，放置一個激光器（圖中未畫出），發出的兩束細激光束a和b，其中，激光束a平行于x軸射向玻璃磚，激光束b沿AO方向射向玻璃磚．已知激光在玻璃磚中的折射率為

3

．
（1）作出光束a和b通過玻璃磚的光路圖，并證明a和b射出玻璃磚后是否相交；
（2）求出激光束a射出玻璃磚后與x軸交點的坐標．

Answer 1

分析：（1）兩光束經過兩次折射射入空氣，畫出光路圖．根據幾何知識得到兩光束的入射角，由折射定律求出折射角，結合數學知識判斷a和b射出玻璃磚后是否相交；
（2）作出激光束a射出玻璃磚后的光路，根據幾何知識求解與x軸交點的坐標．

解答：解：（1）激光束a、b經過玻璃磚的折射光路圖如圖所示：
如圖，tanθ=

3 2 R

1.5R

=

3

3

 得θ=30°
激光束b：
  在O點有：n=

sinθ

sinθ′

 得 θ′=60°
又　sinθ1=

3 2 R

R

=

3

2

  得 θ₁=60°
激光束a，在C點有：n=

sinθ1

sinθ2

 得 θ₂=30°
在E點  n=

sinθ4

sinθ3

=

sinθ4

sin(θ1-θ2)

 得 θ₄=60°
由θ₄=θ′，兩束光射出后應平行，故不相交．
（2）在△CDO中，CD=Rcosθ1=

1

2

R
在△CDE中，DE=CDtan(θ1-θ2)=

3

6

R
在△EFO中，OF=OEcotθ4=(

3

2

R-

3

6

R)

3

3

=

1

3

R
所以，光束a射出玻璃磚后與x軸交點的坐標為（

1

3

R，0）
答：（1）作出光束a和b通過玻璃磚的光路圖如圖，證明見上；
（2）光束a射出玻璃磚后與x軸交點的坐標為（

1

3

R，0）．

點評：本題是幾何光學問題，畫出光路圖，運用折射定律和幾何知識結合進行求解，常規方法．