Question

【題目】如圖所示，半徑為R=m的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合。轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和口點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為45，已知重力加速度大小為g=10m/s，小物塊與陶罐之間的最大靜摩擦力大小為。(計(jì)算結(jié)果含有根式的保留根式)

(1)若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時(shí)的角速度；

(2)若小物塊一直相對(duì)陶罐靜止，求陶罐旋轉(zhuǎn)的角速度的最大值和最小值。

Answer 1

【答案】（1） （2），

【解析】(1)當(dāng)小物塊受到的摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有

解得

(2)當(dāng)時(shí)，重力和支持力的合力不足以提供向心力，當(dāng)角速度最大時(shí)，摩擦力方向沿罐壁切線向下時(shí)摩擦力達(dá)到最大值，設(shè)此時(shí)最大角速度為，由牛頓第二定律得

聯(lián)立以上三式解得

當(dāng)時(shí)，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當(dāng)角速度最小時(shí)，摩擦力向上達(dá)到最大值，設(shè)此時(shí)最小角速度為，由牛頓第二定律得

聯(lián)立解得：