Question

如圖所示，真空中有以（r，0）為圓心，半徑為r的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y=r的虛線上方足夠大的范圍內，有水平向左的勻強電場，電場強度的大小為E．從O點向不同方向發(fā)射速率相同的質子，質子的運動軌跡均在紙面內，且質子在磁場中的偏轉半徑也為r，已知質子的電荷量為q，質量為m，不計重力、粒子間的相互作用力及阻力的作用．求：
（1）質子射入磁場時速度的大小；
（2）沿x軸正方向射入磁場的質子，到達y軸所需的時間；
（3）與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入的質子，到達y軸時的速度大小．

Answer 1

分析：（1）根據洛倫茲力提供圓周運動的向心力列式求解即可；
（2）根據幾何關系作出軌跡知質子垂直電場方向進入電場，進入點與y軸的距離為r，再根據類平拋運動求質子到達y軸的時間；
（3）同樣由幾何關系作出質子進入電場的位置，進入電場后根據動能定理求質子進到達y軸時的速度大小．

解答：解：（1）根據題意知，質子進入磁場后在洛倫茲力作用下做半徑為r的勻速圓周運動，所以有：
qvB=m

v2

r

，得到質子圓周運動的速度v=

qBr

m

（2）質子沿x軸下向射入磁場經過

1

4

圓弧后以速度v垂直于電場方向進入電場，在磁場中運動周期T=

2πr

v

=

2πm

qB

，在磁場中運動的時間t1=

1

4

T=

πm

2qB

質子進入電場后做類平拋運動，沿電場方向運動r后到達y軸，質子在電場中的加速度a=

F

m

=

qE

m

質子在電場方向做初速度為0的勻加速直線運動，到達y軸時有r=

1

2

a

t

2 2

質子在電場中運動時間t2=

2mr qE

所以沿x軸正方向射入磁場的質子，到達y軸所需的時間t=t₁+t₂=

πm

2qB

+

2mr qE

（3）如圖
質子在磁場中轉過120°角后從P點垂直于電場線進入電場
P點距y軸的距離x₁=r+rsin30°=1.5r        ①
由動能定理得：qEx1=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

     ②
由①②得質子到達y軸時的速度v₂=

3qEr m + q2B2r2 m2

答：（1）質子射入磁場時速度的大小為

qBr

m

；
（2）沿x軸正方向射入磁場的質子，到達y軸所需的時間為

πm

2qB

+

2mr qE

；
（3）與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入的質子，到達y軸時的速度大小為

3qEr m + q2B2r2 m2

．

點評：洛倫茲力提供圓周運動向心力，根據軌跡關系求出質子進入磁場中的速度方向，再根據速度關系求出質子在電場中做何種運動，然后根據運動性質求解．