Question

如圖所示，真空中有以（r，0）為圓心、半徑為r的圓柱形勻強磁場區域，磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y=r的上方足夠大的范圍內，有方向水平向左的勻強電場，電場強度的大小為E，從O點向不同方向發射速率相同的質子，質子的運動軌跡均在紙面內．設質子在磁場中的軌道半徑也為r，已知質子的電量為e，質量為m，不計重力及阻力的作用．求：
（1）質子射入磁場時的速度大小；
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的質子，到達y軸所需的時間；
（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入磁場的質子，到達y軸的位置坐標，并畫出質子運動軌跡的示意圖；
（4）質子到達y軸的位置坐標的范圍．

Answer 1

分析：（1）、質子射入磁場后將做勻速圓周運動，此時洛倫茲力提供向心力，由向心力公式evB=

mv2

r

即可求得質子射入磁場時的速度大小．
（2）、速度方向沿x軸正方向射入磁場的質子，在磁場中的運動軌跡是

1

4

圓周，射出磁場后進入電場做類平拋運動，分別求出這兩段運動的時間，再求和．
（3）、先對質子在磁場中的運動軌跡進行分析，會發現質子會以平行于y軸的方向離開磁場，質子在磁場中的偏轉角是120°，并會垂直于電場的方向射入勻強電場，分別計算進入電場前在y軸方向的位移和進入電場后在y軸方向上的位移，即可得到到達y軸的位置坐標．
（4）、質子最遠的是從磁場右邊界向上直行，即進入電場時距y軸的距離是2r，根據類平拋移動的知識求出在電場中運動時沿y軸的位移，即可求出質子到達y軸最大坐標．

解答：解：（1）質子射入磁場后做勻速圓周運動，有：
evB=

mv2

r

得：v=

eBr

m

（2）質子沿x軸正向射入磁場后經

1

4

圓弧后以速度v垂直于電場方向進入電場，在磁場中運動的時間  
 t1=

T

4

=

πm

2eB

進入電場后做類平拋運動，沿電場方向做勻加速直線運動，運動r后到達y軸，因此有：
t2=

2r a

=

2mr eg

到達y軸所需的時間為t=t₁+t₂=

πm

2eB

+

2mr eg

（3）質子在磁場中轉過120°角后從P點垂直電場線進入電場，在電場中做類平拋運動，運動軌跡如圖所示．
P點距y軸的距離為：
x₁=r+rsin30°=1.5r
可得質子從進入電場至到達y軸所需時間為：
t2=

2x1 a

=

3mr eE

質子在電場中沿y軸方向做勻速直線運動，因此有：
y′=vt2=Br

3er mE

質子到達y軸的位置坐標為：
y=r+y′=r+Br

3er mE

 
即（0，r+Br

3er mE

）
（4）質子最遠的是從磁場右邊界向上直行，垂直進入電場，固有：
Y=r+Br

4re Em

范圍是：（0，r+Br

4re Em

）
答：（1）質子射入磁場時的速度大小為

eBr

m

．
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的質子，到達y軸所需的時間為

πm

2eB

+

2mr eg

．
（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入磁場的質子，到達y軸的位置坐標為（0，r+Br

3er mE

）．
（4）質子到達y軸的位置坐標的范圍為（0，r+Br

4re Em

）．

點評：該題是一道綜合性較強的題，主要是考察了帶電粒子在磁場和電場中的偏轉．該題確定質子射出磁場的位置和方向是解決該題的關鍵，找圓心、畫軌跡是解題的基礎．帶電粒子垂直于磁場進入一勻強磁場后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運動，抓住運動中的任兩點處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交點必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數學知識求出圓周運動的半徑及粒子經過的圓心角從而解答物理問題．