Question

（15分）神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律。天文學家觀測河外星系麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成，兩星視為質點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期。

（1）可見得A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點處質量為m^/的星體（視為質點）對它的引力，設A和B的質量分別為m₁、m₂。試求m^/的（用m₁、m₂表示）；

（2）求暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式；

（3）恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量m_s的兩倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率v＝2.7m/s，運行周期T＝4.7π×10⁴s，質量m₁＝6m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（G＝6.67×10N?m/kg²，m_s＝2.0×10³⁰kg）

Answer 1

解析：

（1）設A、B的圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速相同，其為ω。由牛頓運動定律，有

F_A＝m₁ω²r₁

F_B＝m₂ω²r₂

F_A＝F_B

設A、B之間的距離為r，又r＝r₁＋r₂，由上述各式得r＝   ①

由萬有引力定律，有 F_A＝G

將①代入得F_A＝G

令 F_A＝G       比較可得            ②

（2）由牛頓第二定律，有、                    ③

又可見星A的軌道半徑r₁＝                         ④

由②③④式可得

（3）將m₁＝6m_I代入⑤式，得　　　　　⑤

代入數據得　　　　　　　　　⑥

設m₂＝nm_s，（n＞0），將其代入⑥式，得

　　　　⑦

可見，的值隨n的增大而增大，試令n=2，得

　　　　　　⑧

若使⑦式成立，則n必須大于2，即暗星B的質量m₂必須大于2m_s，由此得出結論：暗星B有可能是黑洞。