Question

（2011?寶坻區一模）神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律．天文學家觀測河外星系麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成，兩星視為質點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者的連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示，引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T．
（1）可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點處質量為m'的星體（視為質點）對它的引力，設A和B的質量分別為m₁、m₂．試求m′（用m₁、m₂表示）
（2）求暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式．

Answer 1

分析：雙星系統構成的條件是雙星的角速度相同，依靠它們之間的萬有引力提供各自的向心力．由于兩星球的加速度不同，必須采用隔離法運用牛頓定律分別對兩星球研究，并通過數學變形求解．

解答：解：（1）設A、B的圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，其為ω．
由牛頓運動定律，
對A：F_A=m₁ω²r₁  對B：F_B=m₂ω²r₂                F_A=F_B
設A、B之間的距離為r又r=r₁+r₂，由上述各式得r=

m1+m2

m2

r1①
由萬有引力定律，有F_A=G

m1m2

r2

將①代入得FA=G

m1 m 3 2

(m1+m2)2r2

令FA=G

m1m′

r12

比較可得m′=

m 3 2

(m1+m2)2

②
（2）根據題意，可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點處質量為m'的星體對它的引力，由牛頓第二定律，有G

m1m′

r12

=m1

v2

r1

③
得  m′=

r1v2

G

④
又可見星A的線速度大小v=

2πr1

T

⑤
由④⑤得，m′=

v3T

2πG

由②⑤可得

m 3 2

(m1+m2)2

=

v3T

2πG

答：（1）O點處星體質量為m′為

m 3 2

(m1+m2)2

．
    （2）暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式為

v3T

2πG

點評：對于天體運動問題關鍵要建立物理模型．雙星問題與人造地球衛星的運動模型不同，兩星都繞著它們之間連線上的一點為圓心做勻速圓周運動，雙星、圓心始終“三點”一線．