Question

（2013?合肥模擬）半徑為r的光滑

1

4

圓弧軌道FE固定在豎直平面內，與水平軌道CE連接．水平軌道的CD段光滑，DE段粗糙．一根輕質彈簧一端固定在C處的豎直墻面上，另一端 與質量為2m的小物塊b剛好在D點接觸（不連接），彈簧處于自然長度．質量為m的小物塊a從頂端F點靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑．物塊a與物塊b第一次碰撞后一起向 左壓縮彈簧．物塊a，b與DE段水平軌道間的動摩擦因數分別為μ₁=0.2和μ₂=0.4，重力加速度為g．
（1）求物塊a第一次經過圓弧軌道E點時對軌道的壓力；
（2）D，E間距離l取何值時，a、b能且只能發生一次碰撞？

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出物塊a滑到E點的速度，結合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊a在E點對軌道的壓力．
（2）根據動能i動力球場物塊a在D點的速度，根據動量守恒定律求出兩物塊在D點向左運動的速度，反彈后，返回D點的速度相等，根據兩物塊加速度不等，經過D點后兩物塊分離．抓住小球第一次到達D點的速度為零，求出l的最大值．假設物塊a能滑上圓弧軌道后，返回最終停在水平軌道DE上P點，而物塊b已先停在P點，結合能量守恒求出兩物塊只發生一次碰撞l的最小值．

解答：解：（1）物塊a由F到E的過程中，由機械能守恒有：mgr=

1

2

mv12
解得第一次經過E點的速度為：v1=

2gr

．
根據牛頓第二定律得：N-mg=m

v12

r

解得：N=3mg．
由牛頓第三定律得，物塊a對軌道的壓力為3mg．
（2）物塊a從E到D的過程中，由動能定理有：-μmgl=

1

2

mv22-

1

2

mv12
解得物塊a在D點的速度為：v2=

2g(r-0.2l)

物塊a、b在D點碰撞，根據動量守恒有：mv₂=3mv₃
解得兩物塊在D點向左運動的速度為：v3=

2g(r-0.2l)

3

．
a、b一起壓縮彈簧后，又返回D點的速度大小還是為：v3=

2g(r-0.2l)

3

．
由于物塊b的加速度大于物塊a的加速度，所以經過D后，a、b兩物塊分離，同時b也與彈簧分離．
①令a第一次到D點時的速度v₂=0，即

2g(r-0.2l)

=0
得：l=5r．
要使a、b發生碰撞，則應為l＜5l．
②加速物塊a能滑上圓弧軌道后，返回最終停在水平軌道DE上P點，而物塊b已先停在P點，設

.

PE

=r，則

.

DP

=l-x
根據能量守恒，對a物塊有：μ1mg(l+x)=

1

2

mv32
對b物塊有：μ22mg(l-x)=

1

2

?2mv32
由以上兩式解得：x=

1

3

l．
l=

5

13

r．
要使a、b只發生一次碰撞，則：l≥

5

13

r．
綜上所述，當5r＞l≥

5

13

r時，兩物塊能且只能發生一次碰撞．
答：（1）物塊a第一次經過圓弧軌道E點時對軌道的壓力為3mg．
（2）當5r＞l≥

5

13

r時，兩物塊能且只能發生一次碰撞．

點評：本題考查了動能定理、牛頓第二定律、機械能守恒的綜合運用，在第二問中抓住只發生一次碰撞的臨界情況，結合動能定理、能量守恒求出l的范圍．