Question

【題目】有電阻的導電圓盤半徑為R，其邊緣用電阻不計的導電材料包裹，可繞固定點O在水平面內轉動，其軸心O和邊緣處電刷A均不會在轉動時產生阻力，空氣阻力也忽略不計。用導線將電動勢為E的電源、導電圓盤、電阻和開關連接成閉合回路，如圖1所示在圓盤所在區域內充滿豎直向下的勻強磁場，如圖2所示只在A、O之間的一塊圓形區域內存在豎直向下的勻強磁場，兩圖中磁場的磁感應強度大小均為B，且磁場區域固定。如果將開關S閉合，圓盤將會轉動起來。

（1）在圖1中，將開關S閉合足夠長時間后，圓盤轉速達到穩定。

a．從上往下看，圓盤的轉動方向是順時針還是逆時針？

b．求穩定時圓盤轉動的角速度ω1的大小。

（2）在圖2中，進行了兩次操作：第一次，當圓盤加速到ω0時將開關斷開，圓盤逐漸減速停下；第二次，當圓盤加速到2ω0時將開關斷開，圓盤逐漸減速停下。已知從理論上可以證明：在圓盤減速過程中任意一個極短的時間△t內，角速度的變化量△ω=kF△t，F是該時刻圓盤在磁場區域受到的安培力的大小，k為常量。求兩次操作中從開始減速到停下的過程中圓盤轉過的角度之比θ1：θ2。

（3）由于圖1中的磁場范圍比圖2中的大，所以剛閉合開關瞬時，圖1中圓盤比圖2中圓盤加速得快。有人認為：斷開開關后，圖1中圓盤也將比圖2中圓盤減速得快。請分析說明這樣的想法是否正確。

Answer 1

【答案】（1）a．從上往下看，圓盤的轉動方向是逆時針。b．穩定時圓盤轉動的角速度ω1的大小是。（2）θ1：θ2是1：2。（3）這樣的想法錯誤

【解析】

（1）a．根據左手定則知：從上往下看，圓盤的轉動方向是逆時針方向。

b．圓盤轉動時，產生沿半徑方向的感應電動勢，在與軸O距離為r處沿半徑方向取一小段長度△r，這一小段距離上的感應電動勢為：△E感=Brω△r

從軸O到圓盤邊緣處求和，可得感應電動勢為：

。

當轉動穩定后，圓盤的感應電動勢（即反電動勢）與電源電動勢相等，因此有：

ω1=E

解得：ω1=。

（2）圖2中開關斷開圓盤減速時，由于磁場區域固定，所以仍有圓盤的感應電動勢E感∝ω，且可認為圓盤中電流流經的路徑及電阻不變，因此安培力F∝I∝E感∝ω，即安培力F與角速度ω成正比；

由題意知：在任意一段極短的時間△t內，角速度的變化量△ω=kF△t，考慮到其中F∝ω，可知△ω=k′ω△t（k′為另一常量），又因為ω△t=△θ（圓盤轉過角度的變化量），因此有：對應任一小段時間△t，總有△θ∝△ω。

所以，從開始減速到停下的這段時間內，圓盤轉過的角度正比于其角速度的改變量，即為：

θ1：θ2=ω0：2ω0=1：2。

（3）開關斷開后，由于圖1中磁場充滿整個圓盤，使得圓盤沿每條半徑方向的感應電動勢都一樣大，電荷只在盤心和盤邊緣處積累，不會在圓盤內部形成電流（渦流），因此在開關斷開后，只要沒有其它的阻力，圓盤將勻速轉動不會減速。圖2中由于磁場存在于圓盤中的一部分區域內，使得開關斷開后，仍有電流在圓盤內部形成回路（渦流），進而引起安培力使圓盤減速。因此這樣的想法錯誤。