Question

【題目】如圖所示，水平地面上左側有一質量為2m的四分之一光滑圓弧斜槽C，斜槽末端切線水平，右側有一質量為3m的帶擋板P的木板B，木板上表面水平且光滑，木板與地面的動摩擦因數為0.25,斜槽末端和木板左端平滑過渡但不粘連。某時刻，一質量為m的可視為質點的光滑小球A從斜槽頂端靜止滾下，重力加速度為g，求：

（1）若光滑圓弧斜槽C不固定，圓弧半徑為R且不計斜槽C與地面的摩擦，求小球滾動到斜槽末端時斜槽的動能

（2）若斜槽C固定在地面上，小球從斜槽末端滾上木板左端時的速度為vO ,小球滾上木板上的同時，外界給木板施加大小為vO的水平向右初速度，并且同時分別在小球上和木板上施加水平向右的恒力F1與F2 ，且F1=F2 =0.5mg。當小球運動到木板右端時（與擋板碰前的瞬間），木板的速度剛好減為零，之后小球與木板的擋板發生第1次相碰，以后會發生多次碰撞。已知小球與擋板都是彈性碰撞且碰撞時間極短，小球始終在木板上運動。

求：①小球與擋板第1次碰撞后的瞬間，木板的速度大小

②小球與擋板第1次碰撞后至第2019次碰撞后瞬間的過程中F1與F2做功之和。

Answer 1

【答案】(1)；(2)；

【解析】

解：(1)由題可知，設小球滾動到斜槽末端時，與的速度大小分別為，

與水平方向動量守恒，則： ①

與系統機械能守恒，則： ②

的動能為： ③

聯立①②③ 解得：

（2）①小球滾到木板上后，小球與木板的加速度大小分別為與

則有： ④

⑤

木板開始運動到速度第一次減為零時用時為，則有： ⑥

小球第一次與擋板碰前瞬間速度為： ⑦

另設第一次碰完后小球與木板的速度分別為，

與動量守恒，則： ⑧

與系統動能不變，則： ⑨

聯立④⑤⑥⑦⑧⑨解得：，

②由題可知，第1次碰撞后，小球以沿木板向左勻減速運動再反向勻加速，木板以向右勻減速運動（兩者如圖所示）

木板速度再次減為零的時間：

小球的速度：

此時，小球的位移：

木板的位移：

即小球、木板第2次相碰前瞬間的速度與第1次相碰前瞬間的速度相同，以后小球、木板重復前面的運動過程；

則第1次碰撞后與第2019次碰撞后瞬間，小球與木板總位移相同，都為： ⑩

則此過程與做功之和： ⑾

聯立⑩⑾解得：