Question

如圖所示是一個設計“過山車”的試驗裝置的原理示意圖，光滑斜面AB與豎直面內的圓形軌道在B點平滑連接，圓形軌道半徑為R．一個質量為m的小車（可視為質點）在A點由靜止釋放沿斜面滑下，當它第一次經過B點進入圓形軌道時對軌道的壓力為其重力的7倍，小車恰能完成圓周運動并第二次經過最低點沿水平軌道向右運動．已知重力加速度為g．
（1）求A點距水平面的高度h；
（2）假設小車在豎直圓軌道左、右半圓軌道部分克服摩擦阻力做的功相等，求小車第二次經過豎直圓軌道最低點時的速度大小．

Answer 1

（1）設第一次小車運動到B點的速度大小為v_B，受到的支持力為N，根據牛頓第二定律：
N-mg=m

vB2

R

依題意和牛頓第三定律：
N=7mg
解得v_B=

6Rg

小車從A點運動到B點的過程機械能守恒，以B點位置為重力勢能零點，則有：
mgh=

1

2

mvB2
解得h=3R
（2）設小車在圓軌道最高點的速度為v_C，重力提供向心力，此時根據向心力公式有：
mg=m

vC2

R

解得：v_c=

Rg

設小車在右半圓軌道上克服阻力做功W_f，對小車從B點運動到C的點過程，根據動能定理有
-mg2R-W_f=

1

2

mvC2-

1

2

mvB2
解得W_f=

1

2

mgR
設小車第二次經過B點時的速度為v′，對小車從B點運動到C點再回到B點的過程，根據動能定理有：
-2W_f=

1

2

mv′2-

1

2

mvB2
解得v′=2

Rg

答：（1）A點距水平面的高度h為3R；
（2）小車第二次經過豎直圓軌道最低點時的速度大小為2

Rg

．