Question

（2010?重慶模擬）如圖所示為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星 O的運(yùn)行軌道近似為圓．已知引力常量為G，天文學(xué)家觀測(cè)得到A行星的運(yùn)行軌道半徑為 R₀，周期為T(mén)₀．A 行星的半徑為r₀，其表面的重力加速度為g，不考慮行星的自轉(zhuǎn)．
（ l ）中央恒星O的質(zhì)量是多大？
（ 2 ）若A行星有一顆距離其表面為h做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，求該衛(wèi)星的線速度大小．（忽略恒星對(duì)衛(wèi)星的影響）

Answer 1

分析：（1）行星由恒星的萬(wàn)有引力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律由行星的運(yùn)行軌道半徑為 R₀，周期為T(mén)₀求出恒星O的質(zhì)量．
（2）衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，行星對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星的向心力，再由牛頓第二定律求解衛(wèi)星的線速度大小．

解答：解：（1）設(shè)中央恒星O的質(zhì)量為M，A行星的質(zhì)量為m，則由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得 
           G

Mm

R 2 0

=m

4π2R0

T 2 0

            
        解得 M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

                         
     （2）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m₀，由題意可知：
          G

mm0

(r0+h)2

=m0

v2

(r0+h)

  
          G

mm0

r 2 0

=m₀g    
       解得：v=

g r 2 0 r0+h

                              
答：（1）中央恒星O的質(zhì)量是M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

；
    （2）該衛(wèi)星的線速度大小為

g r 2 0 r0+h

．

點(diǎn)評(píng)：本題中第（1）要注意已知旋轉(zhuǎn)天體的軌道半徑和周期求出的是中心天體的質(zhì)量，而不是旋轉(zhuǎn)天體本身的質(zhì)量．