Question

如圖所示，某一真空空間內充滿著相互垂直的場強為E的勻強電場和磁感應強度為B的勻強磁場，且電場和磁場根據需要可同時存在或單獨存在．在此空間中建立Oxyz空間直角坐標系，且xOy位于水平面，
（1）若電場和磁場同時存在，且B和E的方向分別與x軸和y軸正方向相同時，有一電量為+q的帶電粒子（重力不計）由坐標原點O沿z軸正方向進入該區域后做勻速直線運動，則該粒子運動速度v為多大？
（2）若有一電量為+q的帶電粒子（重力不計）由坐標原點O沿z軸正方向以（1）問中的速度v進入該區域后，僅存在電場，且E的方向沿y軸正方向，當粒子運動方向與z軸正方向的夾角滿足tan

3

4

時，撤去電場．經過一段時間后僅加上磁場，且B的方向為x軸的負方向，粒子在以后的運動中正好能與 y 軸相切．問粒子在無電、磁場時的運動時間為僅受電場力作用時間的多少倍？
（3）若電場和磁場同時存在，且B和E的方向分別與x軸和y軸正方向相同時，有一質量為m、帶電量為+q的帶電小球在yOz平面內做勻速率運動，試判斷該小球的運動性質并計算其運動速率．

Answer 1

分析：（1）重力不計，粒子進入場區做勻速直線運動時，受到的洛倫茲力與電場力平衡，由平衡條件列式可求得速度v；
（2）設電場力作用時間為t₁，無電、磁場時的運動時間為t₂．有電場時，粒子做類平拋運動，據題意，粒子運動方向與z軸正方向的夾角滿足tan

3

4

時撤去電場，由速度的分解求得粒子沿y軸和z軸兩個方向分速度之比

vy

vz

．粒子沿z軸方向做勻速直線運動，AO在z軸上的分位移為 z=v（t₁+t₂），又根據幾何關系得：z=R+Rsinθ=1.6R，而粒子圓周運動的半徑R=

mv

qB

，聯立即可解得時間之比．
（3）小球做勻速直線運動，根據平衡條件列式求速率．

解答：解：（1）由題，粒子進入場區做勻速直線運動時，受到的洛倫茲力與電場力平衡，則有 qE=qvB
解得，v=

E

B

（2）畫出粒子在yOz平面內的軌跡如圖所示．設電場力作用時間為t₁，無電、磁場時的運動時間為t₂．
當粒子在電場中運動方向與z軸正方向的夾角滿足tan

3

4

時，則有
 

vy

vz

=

qE m t1

v

=

3

4

解得，t₁=

3mv

4qE

=

3m

4qB

AO在z軸上的分位移為 z=v（t₁+t₂） ①
由圖中幾何關系得
   AO在z軸上的分位移為 z=R+Rsinθ=1.6R=

1.6mv合

qB

=

1.6mv

qBcosθ

=

2mv

qB

 ②
由①、②得：t₁+t₂=

2m

qB

，t₂=

5m

4qB

，
所以

t2

t1

=

5

3

（3）小球做勻速直線運動，則

(mg)2+(qE)2

=qvB
解得，v=

(mg)2+(qE)2

qB

答：
（1）粒子運動速度v為

E

B

．
（2）粒子在無電、磁場時的運動時間為僅受電場力作用時間的

5

3

倍？
（3）小球的運動性質是勻速直線運動，其運動速率為

(mg)2+(qE)2

qB

．

點評：本題是帶電粒子在復合場中運動的類型，分析粒子的受力情況和運動情況是關鍵，再運用力學的方法進行處理．