Question

如圖所示，光滑的平行導軌P、Q相距l=1m，處在同一水平面中，導軌左端接有如圖所示的電路，其中水平放置的平行板電容器C兩極板M、N間距離d=10mm，定值電阻R₁=R₃=8Ω，R₂=2Ω，導軌電阻不計．磁感應強度B=0.4T的勻強磁場豎直向下穿過導軌平面，當金屬棒ab沿導軌向右勻速運動（開關S斷開）時，電容器兩極板之間質量m=1×10^-4kg，帶電荷量q=-1×10^-5C的微粒恰好靜止不動；當S閉合時，粒子立即以加速度a=7m/s²向下做勻加速運動，取g=10m/s²，在整個運動過程中金屬棒與導軌接觸良好，且運動速度保持恒定．求：
（1）當S斷開時，電容器上M、N哪個極板電勢高；當S斷開時，ab兩端的路端電壓是多大？
（2）金屬棒的電阻多大？
（3）金屬棒ab運動的速度多大？
（4）S閉合后，使金屬棒ab做勻速運動的外力的功率多大？

Answer 1

分析：（1）根據帶電微粒處于靜止狀態，通過平衡求出M、N兩端的電勢差，確定電勢的高低，從而得出ab兩端的路端電壓．
（2）通過S閉合、斷開時，結合閉合電路歐姆定律求出金屬棒的電阻的大小．
（3）求出感應電動勢的大小，通過E=BLv求出金屬棒的速度大小．
（4）S閉合后，外力的功率等于電源總功率，根據P=EI求出外力的功率．

解答：解：（1）S斷開時，帶電微粒在電容器兩極板間靜止，受向上的電場力和向下的重力作用而平衡．mg=q

U1

d

…①
由①式求得電容器兩極板間的電壓：U₁=

mgd

q

=

1×10-4×10×10-2

1×10-5

V=1V．
由于微粒帶負電，可電容器M極板電勢高．
  U_ab=U₁=1V．
（2）由于S斷開，R₁上無電流，R₂、R₃上電壓等于U₁，電路中的感應電流．
即通過R₂、R₃的電流強度為：I1=

U1

R2+R3

=

1

10

=0.1A
由閉合電路歐姆定律可知ab切割磁感線運動產生的感應電動勢為：E=U₁+I₁r…②
其中r為ab金屬棒的電阻．當閉合S后，帶電粒子向下做勻加速運動，根據牛頓第二定律∑F=ma有：
mg-q

U2

d

=ma…③
求得S閉合后電容器兩極板間的電壓：U2=

mg(g-a)d

q

=

10-14×(10-7)×0.01

10-15

=0.3V．
這時電路中的感應電流為：I2=

U2

R2

=

0.3

2

=0.15A
根據閉合電路歐姆定律有：E=I2(

R1R3

R1+R3

+R2+r)…④
將相應數據和已知量代入②④求得：E=1.2V，r=2Ω
（3）又∵E=BLv
∴v=3m/s
即金屬棒做勻速運動的速度為3m/s．
（4）S閉合后，通過ab的電流I₂=0.15A．外力的功率等于電源總功率，
即P=I₂E=0.15×1.2=0.18W．
答：（1）M極板電勢高，ab兩端的路端電壓是1V．
（2）金屬棒的電阻2Ω．
（3）金屬棒ab運動的速度為3m/s．
（4）S閉合后，使金屬棒ab做勻速運動的外力的功率為0.18W．

點評：本題考查電磁感應與電路的綜合，考查了共點力平衡、牛頓第二定律和閉合電路歐姆定律，綜合性較強，需加強訓練．