Question

【題目】如圖所示，在某豎直平面內，光滑曲面與水平面平滑連接于點，右端連接內、外壁光滑且半徑的四分之一細圓管，管口端正下方直立一根勁度系數為的輕彈簧，彈簧一端固定，另一端恰好與管口端平齊。一個質量為的小滑塊（可視為質點）放在曲面上，現從距的高度為處由靜止釋放小滑塊，它與間的動摩擦因數，小滑塊進入管口端時，它與上管壁有大小為的相互作用力，通過后，在壓縮彈簧過程中小滑塊速度最大時彈簧的彈性勢能為。不計空氣阻力，取重力加速度。求：

(1)小滑塊在處受到的向心力大小；

(2)在壓縮彈簧過程中小滑塊的最大動能；

(3)小滑塊最終停止的位置。

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）距點處

【解析】

（1）由題意知小滑塊進入管口端時，它受到圓管外壁大小為、方向豎直向下的壓力，故小滑塊在點受到的向心力大小為

（2）在壓縮彈簧過程中，小滑塊速度最大時，所受合力為零。設此時小滑塊離端的距離為，則有

解得

在點，根據向心力公式，代入數值解得

小滑塊從點運動到速度最大位置的過程中，由機械能守恒定律得

代入數據解得

（3）小滑塊從點運動到點的過程中，由動能定理得

代入數據解得、間的距離

小滑塊與彈簧作用后返回處動能不變，小滑塊的動能最終消耗在與水平面相互作用的過程中，設之后小滑塊在上的運動路程為，由動能定理有

代入數據解得

故最終小滑塊停止的位置與點的距離為