Question

【題目】如圖所示，光滑水平面上有一小車，右端固定一沙箱，沙箱上連接一水平的輕質(zhì)彈簧，小車與沙箱的總質(zhì)量為。車上在沙箱左側(cè)距離的位置上放有一質(zhì)量為小物塊A，物塊A與小車的動(dòng)摩擦因數(shù)為。僅在沙面上空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)。當(dāng)物塊A隨小車以速度向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，距沙面高處有一質(zhì)量為的帶正電的小球，以的初速度水平向左拋出，最終落入沙箱中。已知小球與沙箱的相互作用時(shí)間極短，且忽略最短時(shí)的長度，并取。求：

（1）小球落入沙箱前的速度和開始下落時(shí)與小車右端的水平距離；

（2）小車在前進(jìn)過程中，彈簧具有的最大值彈性勢能；

（3）設(shè)小車左端與沙箱左側(cè)的距離為。請討論分析物塊A相對小車向左運(yùn)動(dòng)的過程中，其與小車摩擦產(chǎn)生的熱量與的關(guān)系式。

Answer 1

【答案】（1），方向豎直向下, ; （2）9J; （3）①若時(shí)， ; ②若時(shí)， .

【解析】試題分析：（1）小球C在電場中運(yùn)動(dòng)過程，受到重力和電場力作用，兩個(gè)力均為恒力，可采用運(yùn)動(dòng)的分解法研究：豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求解．（2）小球落入沙箱的過程，系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求出小球落入沙箱后的共同速度．之后，由于車速減小，物塊相對車向右運(yùn)動(dòng)，并壓縮彈簧，當(dāng)A與小車速度相同時(shí)彈簧的彈性勢能最大．根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求解．（3）由功能關(guān)系求熱量Q與L的關(guān)系式．要分物塊是否從小車上滑下兩種情況研究．

（1）小球C下落到沙箱的時(shí)間為，則豎直方向上：

所以有：

小球在水平方向左勻減速運(yùn)動(dòng)：

根據(jù)速度公式有：

代入數(shù)據(jù)解得： ，

所以小球落入沙箱瞬間的速度： ，方向豎直向下

小球開始下落時(shí)與小車右端的水平距離：

設(shè)向右為正，在小球落快速落入沙箱過程中，小車（不含物塊A）和小球的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，設(shè)小球球入沙箱瞬間，車與球的共同速度為，則有：

可得：

由于小車速度減小，隨后物塊A相對小車向右運(yùn)動(dòng)并將彈簧壓縮，在此過程中，A與小車（含小球）系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)有一共同速度，則有：

解得：

根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，彈簧的最大勢能為：

代入數(shù)據(jù)解得：

隨后彈簧向左彈開物塊A，假設(shè)A運(yùn)動(dòng)至車的左端時(shí)恰好與車相對靜止。此過程中系統(tǒng)動(dòng)量仍然守恒，所以系統(tǒng)具有的速度仍為：

根據(jù)功能關(guān)系有：

解得小車左端與沙箱左側(cè)的距離為：

分情況討論如下：

①若時(shí)，物塊A停在距離沙箱左側(cè)處與小車一起運(yùn)動(dòng)，因此摩擦產(chǎn)生的熱量為：

②若時(shí)，物塊A最終會從小車的左端滑下，因此摩擦產(chǎn)生熱量為：