Question

如圖（a）所示，在坐標xOy平面的第一象限內，有一個勻強磁場，磁感強度大小恒為B₀，方向垂直于xOy平面，且隨時間作周期性變化，如圖（b）所示．規定垂直xOy平面向里的磁場方向為正，一個質量為m，電量為q的正粒子，在t=0時刻從坐標原點以初速度v₀沿x軸正方向射入，在勻強磁場中運動，經過一個磁場變化周期T（未確定）的時間，粒子到達第一象限內的某一點P，且速度方向沿x軸正方向（不考慮重力作用）
（1）若點O、P連線與x軸之間的夾角為45°，則磁場變化的周期T為多大？
（2）因點P的位置隨著磁場周期的變化而變化，試求點P縱坐標的最大值為多少？此時磁場變化的周期又為多大？

Answer 1

分析：（1）粒子一個磁場變化周期到P點的話，其運動時間應為四分之一周期，但是要考慮順時針和逆時針兩種情況
（2）磁場變化周期越大，圓弧越長，點P的縱坐標的值越大，但在磁場變化的一個周期T'內，每個圓弧不能超過半個圓，因此圓弧最長時應是第二個圓弧與y軸相切，這樣就可保證粒子不會出第一象限，求出粒子半徑，可以計算P的縱坐標最大值．而磁場的變化周期T'應等于帶電粒子由O點運動至P點的時間．

解答：解：（1）粒子僅受洛倫茲力作用而做勻速圓周運動．當磁場方向改變時，粒子的繞行方向也隨之改變．要使粒子隨時間T到達點P，且∠POX=45°，則粒子應正好經歷

T0

4

的逆時針繞行和

T0

4

的順時針繞行（T₀為粒子在磁場中作勻速圓周運動的周期）．軌跡如圖（a）所示．故磁場變化的周期為T=

T0

2

=

πm

qB

（2）磁場變化周期越大，圓弧越長，點P的縱坐標的值越大，但在磁場變化的一個周期T'內，每個圓弧不能超過半個圓，因此圓弧最長時應是第二個圓弧與y軸相切（因圓弧再長就將從y軸射向第二象限穿出磁場）．如圖（b）所示．
設帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑為R，則

.

OO1

=

.

O2P

=R，

.

OO2

=2R，

.

O1A

=

(2R)2-R2

=

3

R
所以點P的縱坐標為y=2R+

3

R=（2+

3

）

mv

qB

此時磁場的變化周期T'應等于帶電粒子由O點運動至P點的時間
即 T'=

2π-2θ

ψ

又sinθ=

R

2R

=

1

2

，θ=

π

6

．ψ=

v

R

    R=

mv

qB

解得：T'=

5πm

3qB

（1）磁場變化的周期T為

πm

qB

（2）點P縱坐標的最大值為

3R

   此時磁場變化的周期為

5πm

3qB

點評：本題考查帶電粒子在磁場中的運動，是一道力學、電學綜合題．對考生的空間想象能力及邏輯推理能力有較高的要求．求解的關鍵是正確想象出帶電粒子的運動情景．