Question

如圖甲所示，兩根相距為L的金屬軌道固定于水平面上，導軌電阻不計，一根質量為m、長為L、電阻為R的金屬棒兩端放于導軌上，導軌與金屬棒間的動摩擦因數為?，棒與導軌的接觸電阻不計．導軌左端連有阻值為2R的電阻，在電阻兩端接有電壓傳感器并與計算機相連．有n段豎直向下的寬度為a間距為b的勻強磁場（a＞b），磁感強度為B、金屬棒初始位于OO′處，與第一段磁場相距2a．

（1）若金屬棒有向右的初速度v₀，為使金屬棒保持v₀一直向右穿過各磁場，需對金屬棒施加一個水平向右的拉力，求金屬棒進入磁場前拉力F₁的大小和進入磁場后拉力F₂的大小；
（2）在（1）的情況下，求金屬棒從OO′開始運動到剛離開第n段磁場過程中，拉力所做的功；
（3）若金屬棒初速為零，現對棒施以水平向右的恒定拉力F，使棒穿過各段磁場，發現計算機顯示出的電壓隨時間以固定的周期做周期性變化，在給定的坐標圖乙中定性地畫出計算機顯示的圖象（從金屬棒進入第一段磁場開始計時）．
（4）在（3）的情況下，求整個過程導軌左端電阻上產生的熱量，以及金屬棒從第n段磁場穿出時的速度．

Answer 1

分析：（1）金屬棒保持v₀一直向右勻速運動，進入磁場前，拉力F₁與滑動摩擦力平衡，由平衡條件可解；金屬棒在磁場中運動時，拉力與滑動摩擦力、安培力平衡，推導出安培力表達式，可解．
（2）分兩段求功：一段在非磁場區域，運動的位移為[2a+（n-1）b]，可求出功；另一段在在磁場區域，每一段拉力做功相同，共有n段，由功的公式可求解．
（3）要使棒進入各磁場的速度都相同，金屬棒在無磁場區域做加速運動，在磁場區域做減速運動，則穿過各段磁場時，感應電動勢減小，路端電壓減小，根據速度的變化情況，可作出電壓圖象．
（4）進入磁場前，拉力和摩擦力做功，根據動能定理，求出金屬棒進入磁場時的速度．進入在磁場時，拉力、摩擦力和安培力做功，根據能量守恒定律求出熱量．

解答：解：
（1）金屬棒進入磁場前，F₁=f=μN=μmg
金屬棒在磁場中運動時，F₂=f+F_安=f+BIL
又I=

E

2R+R

=

BLv0

3R

，
聯立得  F2=μmg+

B2L2v0

3R

（2）在非磁場區域外力F₁所做的功為  W₁=F₁[2a+（n-1）b]=μmg[2a+（n-1）b]
在磁場區域外力F₂所做的功為  W2=F2×na=(μmg+

B2L2v0

3R

)na
在此過程拉力所做的總功  W=W1+W2=μmg[(n+2)a+(n-1)b]+

nB2L2avo

3R

（3）要使棒進入各磁場的速度都相同，金屬棒在無磁場區域做加速運動，在磁場區域做減速運動，則穿過各段磁場時，感應電動勢減小，路端電壓減小，而且速度減小時，安培力減小，加速度減小，則路端電壓減小變化慢，電壓圖象的斜率減小，可作出電壓圖象如圖．
（4）進入各磁場時的速度均相同，等于從OO?運動2a位移時的速度，根據動能定理得
   (F-μmg)×2a=

1

2

mv′2
每經過一段磁場產生的電能相同，設為E_電，根據動能定理，有
     Fa-μmga-E電=

1

2

mv2-

1

2

mv′2
所以

E電=Fa-μmga- 1 2 mv2+ 1 2 mv′2 =Fa-μmga-(F-μmg)(2a-b)+(F-μmg)×2a =(F-μmg)(a+b)

Q=

nE電

3R

×2R=

2

3

n(F-μmg)(a+b)，
解得 v=

(F-μmg)(4a-2b) m

答：（1）金屬棒進入磁場前拉力F₁的大小為μmg，進入磁場后拉力F₂的大小為μmg+

B2L2v0

3R

；
（2）金屬棒從OO′開始運動到剛離開第n段磁場過程中，拉力所做的功為μmg[（n+2）a+（n-1）b]+

nB2L2av0

3R

；
（3）電壓圖象如圖；
（4）整個過程導軌左端電阻上產生的熱量為

2

3

n(F-μmg)(a+b)，金屬棒從第n段磁場穿出時的速度為

(F-μmg)(4a-2b) m

．

點評：題分析受力是基礎，關鍵從能量轉化和守恒角度來求解，解題時要注意抓住使棒進入各磁場的速度都相同，以及通過每段磁場時電路中發熱量均相同的條件．