Question

如圖所示，傾角為α的光滑斜面與半徑為R＝0.4 m半圓形光滑軌道在同一豎直平面內，其中斜面與水平面BE光滑連接，水平面BE長為L＝0.4 m，直徑CD沿豎直方向，C、E可看做重合。現有一可視為質點的小球從斜面上距B點豎直距離為H的地方由靜止釋放，小球在水平面上所受阻力為其重力的。(取g＝10 m/s²)求：

(1)若要使小球經E處水平進入圓形軌道且能沿軌道運動，H至少要有多高？如小球恰能沿軌道運動，那么小球在水平面DF上能滑行多遠？
(2)若小球靜止釋放處離B點的高度h小于(1)中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的G點，求此h的值。

Answer 1

（1）H≥0.28 m   5 m（2）0.18 m

試題分析：(1)小球從光滑斜面軌道下滑，機械能守恒，設到達B點時的速度大小為v，則
mgH＝mv²
因為小球在水平面所受阻力為其重力的，
根據牛頓第二定律a＝＝2 m/s²。
v_E²－v²＝－2aL
小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓形軌道最高點必須滿足：
mg≤m
聯立以上幾式并代入數據得：H≥0.28 m
小球恰能沿軌道運動，根據動能定理：
mg·2R－kmg·x＝0－mv_E²，x＝5 m。
(2)若h<H，小球過E點后做平拋運動，設球經E點時的速度大小為v_x，則擊中半圓中點G時：
豎直方向：R＝gt²
水平方向：R＝v_xt
由動能定理：mgh－kmgL＝mv_x²
聯立以上三式并代入數據得h＝0.18 m。