Question

如圖所示，一個質量為M的人，站在臺秤上，一長為R的懸線一端系一個質量為m的小球，手拿懸線另一端，小球繞懸線另一端點在豎直平面內做圓周運動，不計空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）若小球恰能通過圓軌道最高點，求小球通過最低點時對繩子拉力的大小．
（2）若小球恰能在豎直平面內做圓周運動，求臺秤示數的最小值．

Answer 1

分析：（1）小球恰能通過最高點，根據牛頓第二定律求出最高點的速度，通過動能定理求出小球通過最低點的速度，再根據牛頓第二定律求出繩子的拉力．
（2）根據徑向的合力提供向心力，通過牛頓第二定律和動能定理，結合數學知識求出對小球向下的最大拉力，則對人有向上的最大拉力，根據共點力平衡求出人對臺秤的最小壓力．

解答：解：（1）恰好圓周時，在最高點：mg=

mv12

R

從最低點到最高點，由動能定理：-2mgR=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

在最低點：T-mg=m

v 2 2

R

聯立以上各式解得：T=6mg
由牛頓第三定律：T′=6mg
（2）設小球經過圖示位置Q點的速度為v，與豎直方向夾角為θ，則從P到Q：mgR(1-cosθ)=

1

2

m

v

2

-

1

2

m

v

2 1

在Q點：T+mgcosθ=m

v2

R

得：T=3mg（1-cosθ）
其豎直方向的分量為：T_y=3mg（1-cosθ）cosθ
由數學關系可知，當cosθ=0.5，即：θ=60⁰時，T_y最小  
則臺秤示數的最小值為：Nmin=Mg-Ty=(M-

3

4

m)g．
答：（1）小球通過最低點時對繩子拉力的大小為6mg．
（2）臺秤示數的最小值為Nmin=(M-

3

4

m)g．

點評：本題考查了牛頓第二定律、動能定理的綜合，關鍵知道圓周運動向心力的來源，選擇合適的研究過程，運用動能定理、牛頓第二定律進行求解．