Question

（18分）如圖甲所示，豎直面MN的左側空間存在豎直向上的勻強電場（上、下及左側無邊界）。一個質量為m、電量為q的可視為質點的帶正電的小球，以大小為v₀的速度垂直于豎直面MN向右作直線運動。小球在t=0時刻通過電場中的P點，為使小球能在以后的運動中豎直向下通過D點（P、D間距為L，且它們的連線垂直于豎直平面MN，D到豎直面MN的距離DQ等于L/π），經過研究，可以在電場所在的空間疊加如圖乙所示隨時間周期性變化的、垂直紙面向里的磁場，設且為未知量。求：
（1）場強E的大小；
（2）如果磁感應強度B₀為已知量，試推出滿足條件t₁的表達式；
（3）進一步的研究表明，豎直向下的通過D點的小球將做周期性運動。則當小球運動的周期最大時，求出磁感應強度B₀及運動的最大周期T的大小，并在圖中定性畫出此時小球運動一個周期的軌跡。
     

Answer 1

（1）E=mg/q  （2）
（3）   小球在電場中運動一個周期的軌跡圖如圖所示

試題分析：（1）小球進入電場，做勻速直線運動時　Eq=mg　　　① （2分）
E=mg/q      ② （2分）
（2）在t₁時刻加磁場，小球在時間t_０內做勻速圓周運動，設圓周運動周期為T₀，半徑為R 。
有： ③（2分）   豎直向下通過D點應有：PF-PD=R 
即： ④（2分）     將④代入⑤式解得 ⑤（2分）
（3）小球運動的速率始終不變，當R變大時，也增加，小球在電場中的運動周期T也增加。在小球不飛出電場的情況下，當T最大時有：DQ="2R" 即 ⑥（2分）解得 ⑦（2分）
結合乙圖及軌跡圖可知，小球在電場中運動的最大周期：
 ⑧（2分）
小球在電場中運動一個周期的軌跡圖如圖所示（2分）