Question

（2010?南開區一模）如圖所示，坐標系xOy在豎直平面內，空間有沿水平方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，在x＞0的空間里有沿x軸正方向的勻強電場，場強的大小為E，一個帶正電的小球經過圖中的x軸上的A點，沿著與水平方向成θ=30°角的斜向下直線做勻速運動，經過y軸上的B點進入x＜0的區域，要使小球進入x＜0區域后能在豎直面內做勻速圓周運動，需在x＜0區域另加一勻強電場，若帶電小球做圓周運動通過x軸上的C點（C點未標出），且

.

OA

=

.

OC

，設重力加速度為g，求：
（1）小球運動速率的大小；
（2）在x＜0的區域所加電場的場強大小和方向；
（3）小球從B點運動到C點所用時間．

Answer 1

分析：（1）球在AB段做勻速直線運動，重力、電場力和洛倫茲力三力平衡，由平衡條件可求解小球運動的速度大小；
（2）小球進入x＜0區域后在豎直面內做勻速圓周運動，則電場力與重力平衡，即可求得場強大小和方向；
（3）球在磁場中做勻速圓周運動的周期是T=

2πR

v

，畫出小球運動軌跡，確定出軌跡對應的圓心角，可求出時間．

解答：解：（1）小球從A運動到B的過程中，小球受重力、電場力和洛倫茲力作用而處于平衡狀態，如圖右圖所示．由題設條件知sin30°=

qE

Bqv

，
所以小球的運動速率為  v=

2E

B

．
（2）小球在x＜0的區域做勻速圓周運動，則小球的重力與所受的電場力平衡，洛倫茲力提供做圓周運動的向心力．則
    mg=qE，
 又 tan30°=

qE

mg

．
所以 E′=

3

E，方向豎直向上．
（3）如圖所示，連接BC，過B作AB的垂線交x軸于O′．
因為 θ=30°，所以∠AO′B=60°，又

.

OA

=

.

OC

，
故∠OCB=θ=30°，所以∠CBO′=30°，
 

.

O′C

=

.

O′B

，則O’為小球做圓周運動的圓心
且 qvB=m

v2

R

，R=

mv

Bq

，T=

2πR

v

=

2πm

Bq

，
由于∠CO′B=120°，
小球從點B運動到點C的時間為  t₁=

1

3

T=

2πm

3Bq

，
又

m

q

=

3 E

g

，所以

.

OA

=

3 3 E2

gB2

．t₁=

2 3 πE

3gB

答：
（1）小球運動速率的大小為

2E

B

．
（2）在x＜0的區域所加電場的場強大小為

3

E，方向豎直向上．
（3）小球從B點運動到C點所用時間是

2 3 πE

3gB

．

點評：本題是帶電體在復合場中運動的類型，分析受力情況和運動情況是基礎，小球做勻速圓周運動時，畫出軌跡，由幾何知識確定圓心角是求解運動時間的關鍵．