Question

（2010?海淀區一模）如圖15所示，固定在上、下兩層水平面上的平行金屬導軌MN、M'N'和OP、O'P'間距都是l，二者之間固定有兩組豎直半圓形軌道PQM和P'Q'M'，兩軌道間距也均為l，且PQM和P'Q'M'的豎直高度均為4R，兩組半圓形軌道的半徑均為R．軌道的QQ'端、MM'端的對接狹縫寬度可忽略不計，圖中的虛線為絕緣材料制成的固定支架，能使導軌系統位置固定．將一質量為m的金屬桿沿垂直導軌方向放在下層導軌的最左端OO'位置，金屬桿在與水平成θ角斜向上的恒力作用下沿導軌運動，運動過程中金屬桿始終與導軌垂直，且接觸良好．當金屬桿通過4R的距離運動到導軌末端PP'位置時其速度大小vp=4

gR

．金屬桿和導軌的電阻、金屬桿在半圓軌道和上層水平導軌上運動過程中所受的摩擦阻力，以及整個運動過程中所受空氣阻力均可忽略不計．
（1）已知金屬桿與下層導軌間的動摩擦因數為μ，求金屬桿所受恒力F的大小；
（2）金屬桿運動到PP'位置時撤去恒力F，金屬桿將無碰撞地水平進入第一組半圓軌道PQ和P'Q'，又在對接狹縫Q和Q'處無碰撞地水平進入第二組半圓形軌道QM和Q'M'的內側，求金屬桿運動到半圓軌道的最高位置MM'時，它對軌道作用力的大小；
（3）若上層水平導軌足夠長，其右端連接的定值電阻阻值為r，導軌處于磁感應強度為B、方向豎直向下的勻強磁場中．金屬桿由第二組半圓軌道的最高位置MM'處，無碰撞地水平進入上層導軌后，能沿上層導軌滑行．求金屬桿在上層導軌上滑行的最大距離．

Answer 1

分析：（1）直線加速過程，受到拉力、重力、支持力和滑動摩擦力，對直線加速過程運用動能定理列式求解；
（2）導體棒沿著圓弧型光滑軌道上滑過程，只有重力做功，機械能守恒，根據守恒定律列式求解出最高點速度，然后根據向心力公式和牛頓第二定律列式求解出導體棒所受壓力，最后根據牛頓第三定律求解棒對軌道的壓力；
（3）對減速過程運用法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、動量定理列式后聯立求解．

解答：解：（1）導體棒加速過程中，重力和支持力不做功，只有拉力和摩擦力做功，拉力做功為W₁=F?4R?cosθ，摩擦力為F_f=μF_N=μ（mg-Fsinθ），
故摩擦力做功為W₂=-μ（mg-Fsinθ）?4R；
根據動能定理W=△E_k，有
F?4R?cosθ-μ(mg-Fsinθ)?4R=

1

2

m

v

2 p

解得
F=

(2+μ)mg

cosθ+μsinθ

故金屬桿所受恒力F的大小為

(2+μ)mg

cosθ+μsinθ

．
（2）設金屬桿從PP′位置運動到軌道最高點位置MM′時的速度為v₁，此過程根據機械能守恒定律有

1

2

m

v

2 p

=4mgR+

1

2

m

v

2 1

解得
v1=

8gR

設金屬桿MM′位置所受軌道壓力為F_M，根據牛頓第二定律，有
FM+mg=m

v 2 1

R

解得
F_M=7mg
由牛頓第三定律可知，金屬桿對軌道壓力的大小F′_M=7mg
故金屬桿運動到半圓軌道的最高位置MM'時，它對軌道作用力的大小為7mg．
（3）金屬桿在上層導軌上滑行時由于安培力作用而最終靜止．設運動時間為△t，根據動量定理
BIL?△t=mv₁
即
Blq=mv₁
則
q=

mv1

Bl

根據閉合電路歐姆定律，有

.

I

=

. E

r

根據法拉第電磁感應定律，有

.

E

=

△Φ

△t

=

Blx

△t

而
q=

.

I

?△t=

Blx

r

由此可得
x=

mr 8gR

B2l2

故金屬桿在上層導軌上滑行的最大距離為

mr 8gR

B2l2

．

點評：本題關鍵是明確導體棒運動過程中的能量變化情況，然后多次運用動能定理、機械能守恒定律、動量定理列式求解．