Question

如圖所示，一邊長為L，質量為m，電阻為R的正方形金屬框放置在傾角為θ的光滑絕緣斜面的底端，并用細線通過輕質定滑輪與質量為M的重物相連．磁場的方向垂直金屬框平面，磁感應強度的大小只隨y方向變化，規律為B=B₀+ky，k為大于零的常數．假設運動過程中金屬框總有兩條邊與y軸平行，且金屬框不轉動，當金屬框沿y軸方向運動距離為h時速度達到最大．不計空氣阻力，斜面和磁場區域足夠大，重力加速度為g．求：
（1）金屬框的最大速度；
（2）金屬框從開始運動到達到最大速度的過程中，金屬框中產生的焦耳熱；
（3）金屬框從開始運動到達到最大速度的過程中，通過金屬框橫截面的電量．

Answer 1

分析：（1）金屬框切有兩條邊切割磁感線，都產生感應電動勢，最終的電動勢大小為E=（B₂-B₁）Lv=kL²v，速度越大，電動勢越大，電流越大，安培力F=（B₂-B₁）IL=KIL²，知安培力越大，對線框進行受力分析，知線框向上做加速度減小的加速運動，當加速度減小到0，速度達到最大．
（2）金屬框從開始運動到達到最大速度的過程中，電流在變，所以求金屬框中產生的焦耳熱只能通過能量的角度．重物和線框組成的系統，動能增加，重力勢能減小，內能增加，根據能量守恒求解．
（3）根據q=

.

I

△t=

△φ

R

，只要求出這段時間內磁通量的變化量即可求出．

解答：解：（1）達到最大速度時，金屬框及物體的加速度為零，
有：Mg=T    
T=mgsin37°+F   
F=（B₂-B₁）IL=KIL²   
I=

(B2-B1)Lvm

R

=

kL2vm

R

解以上方程，可解得：
vm=

(M-msinθ)gR

k2L4

（2）設產生的焦耳熱為Q，根據能量守恒定律，
有Mgh-mghsinθ=

1

2

(M+m)vm2+Q
得：Q=(M-msinθ)gh-

(M+m)(M-msinθ)2g2R2

2k4L8

（3）q=

.

I

△t=

△φ

△tR

△t=

△φ

R

△φ=△B?L²=khL²
解得：q=

kL2h

R

點評：解決本題的關鍵會對物體進行受力分析，判斷物體的運動狀況，以及能夠熟練運用能量守恒定律進行解題．