Question

（2005?淮安模擬）天文工作者觀測某行星的半徑為R₁，自轉周期為T₁，它有一顆衛星，軌道半徑為R₂，繞行星公轉周期為T₂，求：
（1）該行星的平均密度；
（2）該行星的同步衛星的速度．

Answer 1

分析：1、根據萬有引力提供衛星圓周運動的向心力可以列式求出行星的質量M，進一步求密度；
2、該行星的同步衛星的周期與該行星的自轉周期相同，根據萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m(

2π

T1

)2r，速度與周期的關系為v=

2πr

T1

，以及第一問中求出行星質量M，化簡可得速度v．

解答：解：（1）根據萬有引力提供向心力：G

Mm

R 2 2

=m

4π2R2

T 2 2

-----①
得：M=

4π2 R 3 2

G T 2 2

--------------------------②
根據密度的定義得：ρ=

M

V

=

M

4 3 π R 3 1

=

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

------------③
（2）設同步衛星軌道半徑為r，則：G

Mm

r2

=m(

2π

T1

)2r---------④
速度與周期的關系為v=

2πr

T1

---------------------⑤
由②④⑤式解得：v=

2πR2

3 T1 T 2 2

---------------------⑥
答：（1）該行星的平均密度為

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

；
（2）該行星的同步衛星的速度為

2πR2

3 T1 T 2 2

．

點評：解決問題的關鍵是萬有引力提供圓周運動的向心力，另要知道該行星的同步衛星的周期與該行星的自轉周期相同這一點是解決本題第二問的關鍵．