Question

我國的“嫦娥一號”已于2007年10月24日以近乎完美的方式邁出了“準時發射，準確入軌，精密測控，精確變軌，成功繞月，成功探測”的關鍵六步．若已知月球質量為M，半徑為R，萬有引力恒量為G，月球表面重力加速度為g₀，以下暢想可能的是（　　）

• A．在月球表面上蕩秋千，將人視為質點，秋千質量不計、擺長不變，擺角小于90°，若秋千經過最低位置時的速度為ν₀，則人能上升的最大高度是

  R2 ν 2 0

  2g0M

• B．在月球上發射一顆繞它運行的衛星的最小周期為2π

  R GM

• C．在月球表面以初速度ν₀豎直上拋一個物體，物體上升的最大高度為

  R2 ν 2 0

  2GM

• D．在月球上發射一顆繞它運動的衛星的最小發射速度為

  GM R

Answer 1

分析：1、由星球表面附近的重力等于萬有引力求出星球表面重力加速度．對于蕩秋千這種曲線運動求高度，我們應該運用機械能守恒定律或動能定理，求出上升的最大高度．
2、根據萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r=m

v2

r

，得T=2π

r3 GM

，v=

GM r

，當r最小等于月球半徑R時，周期最小為T=2π

R3 GM

，衛星發射得越高需要的發射速度越大，當發射到近月軌道，即r=R時，需要的發射速度最小，最小速度等于v=

GM R

．

解答：解：A、C、由星球表面附近的重力等于萬有引力，
即：

GMm

R2

=mg_星
則 g_星=

GM

R2

 
經過最低位置向上的過程中，重力勢能減小，動能增大．
由機械能守恒定律得：

1

2

mv₀²=mg_星h
則能上升的最大高度h=

v02R2

2GM

．故A錯誤、C正確．
B、根據萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r，得T=2π

r3 GM

，當r最小等于月球半徑R時，周期最小為T=2π

R3 GM

，故B錯誤．
D、根據萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

，得v=

GM r

，衛星發射得越高需要的發射速度越大，當發射到近月軌道，即r=R時，需要的發射速度最小，最小速度等于v=

GM R

，故D正確．
故選：CD．

點評：把星球表面的物體運動和天體運動結合起來是考試中常見的問題．重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯系的物理量．