Question

【題目】一球形人造衛星，其最大橫截面積為A、質量為m，在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運動．由于受到稀薄空氣阻力的作用，導致衛星運行的軌道半徑逐漸變小．衛星在繞地球運轉很多圈之后，其軌道的高度下降了△H，由于△H <<R，所以可以將衛星繞地球運動的每一圈均視為勻速圓周運動．設地球可看成質量為M的均勻球體，萬有引力常量為G．取無窮遠處為零勢能點，當衛星的運行軌道半徑為r時，衛星與地球組成的系統具有的勢能可表示為．

（1）求人造衛星在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運動的周期；

（2）某同學為估算稀薄空氣對衛星的阻力大小，做出了如下假設：衛星運行軌道范圍內稀薄空氣的密度為ρ，且為恒量；稀薄空氣可看成是由彼此不發生相互作用的顆粒組成的，所有的顆粒原來都靜止，它們與人造衛星在很短時間內發生碰撞后都具有與衛星相同的速度，在與這些顆粒碰撞的前后，衛星的速度可認為保持不變．在滿足上述假設的條件下，請推導：

①估算空氣顆粒對衛星在半徑為R軌道上運行時，所受阻力F大小的表達式；

②估算人造衛星由半徑為R的軌道降低到半徑為R-△H的軌道的過程中，衛星繞地球運動圈數n的表達式．

Answer 1

【答案】（1）（2）①；②

【解析】

試題（1）設衛星在R軌道運行的周期為T，

根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：

解得：

（2）①如圖所示，最大橫截面積為A的衛星，經過時間從圖中的實線位置運動到了圖中的虛線位置，該空間區域的稀薄空氣顆粒的質量為

以這部分稀薄空氣顆粒為研究對象，碰撞后它們都獲得了速度v，設飛船給這部分稀薄空氣顆粒的平均作用力大小為F，根據動量定理有：

根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：，解得：

根據牛頓第三定律，衛星所受的阻力大小F′=．

②設衛星在R軌道運行時的速度為v1、動能為Ek1、勢能為Ep1、機械能為E1，

根據牛頓定律和萬有引力定律有：

衛星的動能，勢能

解得：

衛星高度下降ΔH，在半徑為（R-ΔH）軌道上運行，

同理可知其機械能

衛星軌道高度下降ΔH，其機械能的改變量

衛星機械能減少是因為克服空氣阻力做了功．設衛星在沿半徑為R的軌道運行一周過程中稀薄空氣顆粒作用于衛星的阻力做的功為W0，利用小量累積的方法可知：

上式表明衛星在繞不同軌道運行一周，稀薄空氣顆粒所施加的阻力做的功是一恒量，與軌道半徑無關．

則ΔE=nW0

解得：