Question

在光滑絕緣的水平面上，存在平行于水平面向右的勻強電場，電場強度為E．水平面上放置兩個靜止的小球彳和B（均可看作質點），兩小球質量均為m，A球帶電荷量為+q，B球不帶電，A、B連線與電場線平行．開始時兩球相距L，在電場力作用下，A球開始運動（此時為計時零點，即t=0），后與B球發生對心碰撞，碰撞過程中A、B兩球總動能無損失．設在各次碰撞過程中，A、B兩球間無電量轉移，且不考慮兩球碰撞時間及兩球間的萬有引力．求：
（1）第一次碰撞結束瞬間A、B兩球的速度各為多大？
（2）從計時零點到即將發生第三次碰撞這段過程中，共經過多長時間？
（3）從計時零點到即將發生第n次碰撞這段過程中，小球A經過的位移大小為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據牛頓第二定律求出A球的加速度，由速度位移公式求出A球與B球碰撞前的速度．由于碰撞過程中A、B兩球總動能無損失，交換速度．
（2）根據速度公式求出第一次碰撞時間．第一次碰后，A球追及B球，當位移相等時，發生第二碰撞，由位移相等求出第二次碰撞時間．同理求解第三次碰撞時間．
（3）采用歸納法分別分析從計時零點到即將發生第1次碰撞這段過程、第1次碰撞到即將發生第2次碰撞這段過程、從第2次碰撞到即將發生第3次碰撞這段過程…A球經過的位移，得出規律，再求總位移．
解答：解：（1）A球的加速度為a=
碰前A的速度為v_A1==，碰前B的速度為v_B1=0由于碰撞過程中A、B兩球總動能無損失，交換速度，則碰撞后A、B的速度分別
   v_A1′=0，v_B1′=v_A1=．
（2）A、B球發生第一次、第二次、第三次的碰撞時間分別為t₁、t₂、t₃．
則t₁==
第一次碰后，經t₂-t₁時間A、B兩球發生第二次碰撞，設碰前瞬間A、B兩球速度為v_A2和v_B2，則有
   v_B1′（t₂-t₁）=
解得，t₂=3t₁
   v_A2=a（t₂-t₁）=2at₁=2v_A1=2
  v_B2=v_B1′=
第二次碰后瞬間，A、B兩球速度分別為
v_A2′和v_B2′，經t₃-t₂時間A、B兩球發生碰撞，并設碰撞前瞬間A、B兩球速度分別v_A3和v_B3
則v_A2′=v_B2=
v_B2′=v_A2=2
當v_B2′（t₃-t₂）=v_A2′（t₃-t₂）+a發生第三次碰撞
解得，t₃-t₂=t₂-t₁，t₃=5
（3）從計時零點到即將發生第1次碰撞這段過程中，小球A經過的位移為S₁=L，由（2）分析知，每次碰撞后A、B小球交換速度，通過運算可知，
從第1次碰撞到即將發生第2次碰撞這段過程中，A球經過的位移為S₂=4L，
從第2次碰撞到即將發生第3次碰撞這段過程中，A球經過的位移為S₃=8L，
…
從第（n-1）次碰撞到即將發生第n次碰撞這段過程中，A球經過的位移為S_n=（n-1）4L，
所以，從計時零點到即將發生第n次碰撞這段過程中，小球A經過的位移大小為
S=S₁+S₂+S₃+…+S_n=L+4L+8L…+（n-1）4L=【1+2n（n-1）】L
答：
（1）第一次碰撞結束瞬間A、B兩球的速度分別為0和．
（2）從計時零點到即將發生第三次碰撞這段過程中，共經過5時間．
（3）從計時零點到即將發生第n次碰撞這段過程中，小球A經過的位移大小為【1+2n（n-1）】L．
點評：本題是小球周期性運動問題，關鍵要采用歸納法總結規律，運用數學方法求解．