Question

【題目】如圖所示，傾角為θ＝30°、寬度為d＝1 m、長為L＝4 m的光滑傾斜導軌，導軌C1D1、C2D2頂端接有定值電阻R0＝15 Ω，傾斜導軌置于垂直導軌平面斜向上的勻強磁場中，磁感應強度為B＝5 T，C1A1、C2A2是長為s＝4.5 m的粗糙水平軌道，A1B1、A2B2是半徑為R＝0.5 m處于豎直平面內的1/4光滑圓環(其中B1、B2為彈性擋板)，整個軌道對稱．在導軌頂端垂直于導軌放一根質量為m＝2 kg、電阻不計的金屬棒MN，當開關S閉合時，金屬棒從傾斜軌道頂端靜止釋放，已知金屬棒到達傾斜軌道底端前已達到最大速度，當金屬棒剛滑到傾斜導軌底端時斷開開關S，(不考慮金屬棒MN經過C1、C2處和棒與B1、B2處彈性擋板碰撞時的機械能損失，整個運動過程中金屬棒始終保持水平，水平導軌與金屬棒MN之間的動摩擦因數為μ＝0.1，g＝10 m/s2)．求：

(1)開關閉合時金屬棒滑到傾斜軌道底端時的速度大小；

(2)金屬棒MN在傾斜導軌上運動的過程中，電阻R0上產生的熱量Q；

(3)已知金屬棒會多次經過圓環最低點A1A2，求金屬棒經過圓環最低點A1A2時對軌道壓力的最小值．

Answer 1

【答案】(1)6m/s (2) 4 J (3)56 N，方向豎直向下

【解析】試題分析：開關閉時，金屬棒下滑時切割磁感線運動，產生感應電動勢，產生感應電流，受到沿斜面向上的安培力，做加速度逐漸減小的加速運動，當加速度為0時，速度最大．根據牛頓第二定律和安培力與速度的關系式結合，求解即可；下滑過程中，重力勢能減小，動能增加，內能增加，根據能量守恒求出整個電路產生的熱量，從而求出電阻R0上產生的熱量；由能量守恒定律求出金屬棒第三次經過A1A2時速度，對金屬棒進行受力分析，由牛頓定律即可求解。

（1）金屬棒沿導軌下滑，速度增大，感應電流增大，安培力增大，加速度減小，當加速度減小到零時，金屬棒受到的合外力為零，速度增加到最大，此后金屬棒就以最大速度做勻速運動．對金屬棒受力分析如圖所示：

由力的平衡方程：F安＝mgsinθ

當金屬棒最大速度時感應電動勢E＝Bdvm

感應電流為：

安培力為：F安＝BId

聯立以上并代入數據解得金屬棒的最大速度為：vm=6m/s

(2)金屬棒MN在導軌上運動的過程中，重力勢能減少，動能增加，同時產生焦耳熱，由能量守恒定律可知，減少的重力勢能等于增加的動能與焦耳熱之和：

解得電阻R0上產生的熱量：Q=4 J

(3)當金屬棒剛滑到傾斜導軌底端時已斷開開關S，故金屬棒再滑回傾斜的軌道上時， 不再產生安培力，根據動能定理得：

解得：n=4

從金屬棒滑上水平軌道到第三次經過A1A2，重力做的總功為零，相當于只有摩擦力做功，由動能定理得：

在A1A2對金屬棒受力分析，支持力與重力的合力提供向心力，

根據牛頓第二定律得：FN－mg＝mv2/R

聯立以上并代入數據解得：FN=56 N

根據牛頓第三定律，金屬棒對軌道的壓力：FN′=FN=56 N，方向豎直向下