Question

如圖所示，O₁為一根長L=0.4m的繩子系一個質量m=2kg的小球在豎直平面內順時針做圓周運動的圓心，M為最高點，P為最低點，O₂為一個繞其逆時針做勻速圓周運動的圓環的圓心，最高點為Q，圓環邊緣上有兩點A、B，弧AB所對的圓心角為30°，PQ=3.2m且與兩個圓相切，當小球運動到M點時，繩子突然斷開，此時圓環上的A點也轉到了Q點，經過一段時間后，小球恰好落在了Q點，而此時30°圓心角所對弧AB上的某點（不包含A、B兩點）也轉到了Q點，期間圓環至少轉了一圈，（忽略空氣阻力，取g=10m/s²）求：
（1）繩子斷開時，小球的速度大小是多少？
（2）小球經過M點時，繩子斷開前一瞬間，繩子上的拉力大小是多少？
（3）圓環逆時針做勻速圓周運動的角速度ω應該滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）由題意知繩子斷開后小球從M點開始做平拋運動，根據平拋運動的基本公式即可求解；
（2）根據向心力公式列式即可求解；
（3）如果在t的時間內，圓環轉了n圈后A和Q點重合，則有：nT_A=t，如果在t時間內，圓環轉了n+

1

12

圈后B與Q點重合，則有：(n+

1

12

)TB=t，得出周期，求出角速度，注意周期性．

解答：解：（1）由題意知繩子斷開后小球從M點開始做平拋運動，從M到Q平拋的時間為：
t=

2h g

=

2×0.8 10

=0.4s       
則：PQ=3.2m=v₀t=v₀×0.4s
得：v₀=

3.2

0.4

=8m/s           
（2）繩子斷開瞬間在M點的瞬時線速度為：v₀=8m/s，
小球在M點做圓周運動的向心力Fn=F+mg=m

v02

L

得：F=2×

64

0.4

-20=300N              
（3）如果在t=0.4s的時間內，圓環轉了n圈后A和Q點重合，則有：
nT_A=0.4S   （n=1，2，3，…）    
得周期：TA=

2

5n

（n=1，2，3，…）
則角速度ωA=

2π

TA

=5nπ（n=1，2，3，…）   
如果在t=0.4s的時間內，圓環轉了n+

1

12

圈后B與Q點重合，則有：
(n+

1

12

)TB=0.4s（n=1，2，3，…）    
得周期：TB=

24

60n+5

s（n=1，2，3，…）
則角速度ωB=5nπ+

5

12

π（n=1，2，3，…）      
則角度度應該滿足的條件是：5nπ＜ω＜5nπ+

5

12

π（n=1，2，3，…）      
答：（1）繩子斷開時，小球的速度大小是8m/s；
（2）小球經過M點時，繩子斷開前一瞬間，繩子上的拉力大小是300N；
（3）圓環逆時針做勻速圓周運動的角速度ω應該滿足5nπ＜ω＜5nπ+

5

12

π（n=1，2，3，…）．

點評：本題主要考查了圓周運動向心力公式及平拋運動的基本公式的直接應用，要求同學們能正確分析物體的運動情況，難度適中．