Question

如圖所示，一個內軌光滑外軌粗糙的圓形軌道豎直放置，圓心處有一個帶正電的點電荷（內外軌相距很近，半徑均可視為R），在軌道最低點放一個帶負電的小球，質量為m，直徑略小于內外軌的距離，現給小球一個水平初速度，經過一段時間后，小球在P、Q之間來回往復運動不止，OP、OQ與豎直方向的夾角為θ=37°．（cos37°=0.8，sin37°=0.6）試求：
（1）小球能否通過最高點？
（2）小球與圓心點電荷的庫侖力；
（3）整個過程中小球在最低點對外軌的最大壓力；
（4）整個過程中小球克服摩擦所做的功W_f和庫侖力所做的功W_k．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據機械能守恒條件判定是否守恒，再由守恒定律即可求解；
（2）由題意可知：小球在P、Q之間來回往復運動不止，則當小球運動到最低點時，恰好由庫侖力與重力提供向心力，從而根據牛頓第二定律可求出庫侖力的大小；
（3）整個過程中小球在最低點速度最大時，則球對外軌的壓力最大，因此根據牛頓第二定律可確定軌道對球的支持力，再由牛頓第三定律即可求解；
（4）由于庫侖力與速度方向始終垂直，所以庫侖力不做功．因此對小球整個過程由動能定理則可求出克服摩擦力做功．
解答：解：（1）假設沒有摩擦力，則過程中機械能守恒，
因此由機械能守恒定律可知：
解得：h=R，因此小球不可能到達最高點；
（2）根據經過一段時間后，小球在P、Q之間來回往復運動不止，則說明不再受到摩擦力作用，
則有當小球運動到最低點時，恰好由庫侖力與重力提供向心力，
根據機械能守恒定律可得：
解得：v²=0.4gR
再由牛頓第二定律可得：
解得：F=1.4mg
（3）整個過程中小球在最低點速度最大時，則球對外軌的壓力最大，
因此根據牛頓第二定律可得：
解得：N=1.6mg
（4）由于庫侖力與速度方向始終垂直，所以庫侖力不做功．即W_庫=0
再由動能定理對小球在整個過程中，則有=0.8mgR
答：（1）小球不能否通過最高點；
（2）小球與圓心點電荷的庫侖力為1.4mg；
（3）整個過程中小球在最低點對外軌的最大壓力為1.6mg；
（4）整個過程中小球克服摩擦所做的功W_f為0.8mgR和庫侖力所做的功W_k為零．
點評：考查機械能守恒定律、動能定理、牛頓第二定律與第三定律及向心力公式，并學會緊扣題中關鍵的語句作為突破點，形成分析問題與解決問題的能力．