Question

【題目】如圖所示，傾斜軌道AB和光滑圓弧軌道BC固定在同一豎直平面內，兩者間通過一小段長度不計的光滑弧形軌道相連，已知AB長L＝7.80 m，傾角＝37°，BC弧的半徑R＝0.8 m，O為圓心，∠BOC＝143°．整個裝置處于水平向左的勻強電場中(圖中未畫出)，電場強度大小E＝1×103 N／C．兩個相同的絕緣小球P和Q，質量均為m＝0.4 kg，帶正電的小球Q靜止在A點，其帶電荷量q＝3×10－3C，不帶電的小球P從某一位置以v0＝8 m／s的初速度水平拋出，運動到A點時恰好沿斜面向下與小球Q發生彈性正碰，且碰撞過程無電荷轉移．若Q、P與軌道AB間的動摩擦因數分別為＝0.2和＝0.8，sin 37°＝0.6，cos37＝0.8，g取10 m／s2，小球Q運動過程中電荷量保持不變．求：

(1)小球P的拋出點距A點的高度；

(2)小球Q運動到圓弧軌道最低點B點時對軌道的壓力；

(3)小球Q離開圓軌道后，第一次落到斜面上的位置距B點的距離．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）小球P拋出后做平拋運動，到達A點時速度沿斜面向下，由速度分解法求出小球P到達A點時豎直分速度，即可由運動學公式求出小球P的拋出點距A點的高度；

（2）兩球發生彈性正碰，由動量守恒定律和機械能守恒定律結合求出碰后兩球的速度。碰后小球Q獲得速度，將電場力和重力的合力看成等效重力，由動能定理求出小球Q到圓弧軌道最低點B點時的速度，由牛頓運動定律求Q對軌道的壓力；

（3）假設小球Q能到達C點，由動能定理求得到達C點的速度，與臨界速度比較，判斷知道小球Q能到達C點。小球Q離開軌道后做類平拋運動，運用分位移公式求解Q第一次落到斜面上的位置距B點的距離。

（1）設小球P剛運動到A點時的速度為vA，豎直分速度為vAy．則有：
vAy=v0tan37°=8×=6m/s

所以小球P的拋出點距A點的高度為：

（2）P、Q碰撞過程，動量守恒、機械能守恒。設碰后P、Q的速度分別為vP、vQ。
取沿斜面向下為正方向，由動量守恒定律和機械能守恒定律得：mvA=mvP+mvQ；
mvA2=mvP2+ mvQ2；
解得：vP=0，vQ=10m/s
碰后小球Q受到的電場力 qE=3N，方向水平向左，且與重力的合力大小為5N，方向垂直于AB斜面向下，則“等效重力場”的等效重力加速度 g′=g=12.5m/s2，方向垂直AB斜面向下。
設小球A滑到B點時的速度為vB。
由動能定理得：-μmg′l=mvB2 - mvQ2

解得：vB=m/s
對小球Q，在B點，由牛頓第二定律得：N-mg=m
解得：N=34.5N
由牛頓第三定律知，小球Q運動到圓弧軌道最低點B點時對軌道的壓力也為34.5N。
（3）設小球Q能到達C點，且在C點的速度為vC．則小球Q從A到C的過程中，由動能定理得：
-μmg′l-mg′R（1+cos37°）= mvC2-mvQ2

解得：vC=5m/s
設小球Q恰好到C點時的速度為v′C，則有：mg′=m
解得：v′C=m/s
因vC＞v′C，所以小球能到達C點，小球Q離開C后，做類平拋運動，則有：
x′=vCt
R+Rcos37°=g′t2
解得：t=s，x′≈2.4m
故小球Q的落點距B點的距離為：x=x′+Rsin37°=2.4+0.8×0.6=2.88m