Question

如圖所示為摩托車特技比賽用的部分賽道，由一段傾斜坡道AB與豎直圓形軌道BCD銜接而成，銜接處平滑過渡且長度不計．已知坡道的傾角θ=11.5°，圓形軌道的半徑R=10m，摩托車及選手的總質量m=250kg，摩托車在坡道行駛時所受阻力為其重力的0.1倍．摩托車從坡道上的A點由靜止開始向下行駛，A與圓形軌道最低點B之間的豎直距離h=5m，發動機在斜坡上產生的牽引力F=2 750N，到達B點后摩托車關閉發動機．已知sin11.5°=

1

5

，g取10m/s²，求：
（1）摩托車在AB坡道上運動的加速度；
（2）摩托車運動到圓軌道最低點時對軌道的壓力；
（3）若運動到C點時恰好不脫離軌道，求摩托車在BC之間克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律求出摩托車在AB坡道上運動的加速度．
（2）根據速度位移公式求出摩托車到達B點的速度，根據牛頓第二定律求出軌道對摩托車的支持力，從而求出摩托車對軌道的壓力．
（3）摩托車恰好不脫離軌道時，在最高點靠重力提供向心力，根據牛頓第二定律結合動能定理求出摩托車在BC之間克服摩擦力做的功．

解答：解：（1）由受力分析與牛頓第二定律可知
F+mgsinθ-kmg=ma
代入數字解得a=12 m/s²
（2）設摩托車到達B點時的速度為v₁，由運動學公式可得

v

2 1

=

2ah

sinθ

，由此可得v₁=10

6

 m/s
在B點由牛頓第二定律可知
F_N-mg=m

v2

R

軌道對摩托車的支持力為F_N=1.75×10⁴ N
則摩擦車對軌道的壓力為1.75×10⁴ N
（3）摩托車恰好不脫離軌道時，在最高點速度為v₂
由牛頓第二定律得mg=m

mv 2 2

R

從B點到C點，由動能定理得-mg2R-W_f=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

由此可解得W_f=1.25×10⁴ J
答：（1）摩托車在AB坡道上運動的加速度為12m/s²．
（2）摩托車運動到圓軌道最低點時對軌道的壓力為1.75×10⁴ N
（3）摩托車在BC之間克服摩擦力做的功為1.25×10⁴ J．

點評：本題綜合考查了牛頓第二定律和動能定理，綜合性較強，以及知道圓周運動在最高點的臨界情況．