Question

【題目】由于地球的自轉，物體在地球上不同緯度處隨地球自轉所需向心力的大小不同，因此同一個物體在地球上不同緯度處重力大小也不同，在地球赤道上的物體受到的重力與其在地球兩極點受到的重力大小之比約為299：300，因此我們通常忽略兩者的差異，可認為兩者相等．而有些星球，卻不能忽略．假如某星球因為自轉的原因，一物體在赤道上的重力與其在該星球兩極點受到的重力大小之比為7：8，已知該星球的半徑為R，求：

（1）繞該星球運動的同步衛星的軌道半徑r；

（2）若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，萬有引力常量為G，則該星球的密度ρ．

Answer 1

【答案】（1）2R；（2）

【解析】（1）設物體質量為m，星球質量為M，星球的自轉周期為T，物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，即：

物體在星球赤道上隨星球自轉時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力，有：

因為： ，得：

該星球的同步衛星的周期等于自轉周期T，則有：

聯立解得： 。

（2）在星球赤道上，有：

可得：

又因星球的體積：

所以該星球的密度： 。