Question

如圖甲所示，足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ所在平面與水平面成30°角，兩導軌的間距l=0.50m，一端接有阻值R=1.0Ω的電阻．質量m=0.10kg的金屬棒ab置于導軌上，與軌道垂直，電阻r=0.25Ω．整個裝置處于磁感應強度B=1.0T的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向下．t=0時刻，對金屬棒施加一平行于導軌向上的外力F，使之由靜止開始運動，運動過程中電路中的電流隨時間t變化的關系如圖乙所示．電路中其他部分電阻忽略
不計，g取10m/s²，求：
（1）4.0s末金屬棒ab瞬時速度的大小；
（2）3.0s末力F的瞬時功率；
（3）已知0～4.0s時間內電阻R上產生的熱量為0.64J，試計算F對金屬棒所做的功

Answer 1

（1）導體棒切割磁感線產生感應電動勢：E=Blv，
由閉合電路的歐姆定律可得，電路電流：I=

E

R+r

=

Blv

R+r

，
由圖乙可得：t=4.0s時，I=0.8A，即：=

Blv

R+r

=0.8A，
解得：v=2m/s；
（2）由于B、l、R、r是定值，由I=

Blv

R+r

可知，I與v成正比，
由圖乙可知，電流I與時間t成正比，由此可知，速度v與時間t成正比，
由此可知，導體棒做初速度為零的勻加速直線運動，
4.0s內金屬棒的加速度a=

△v

△t

=

2m/s

4s

=0.5m/s²，
對金屬棒由牛頓第二定律得：F-mgsin30°-F_安=ma，
由圖乙所示圖象可知，t=3s時I=0.6A，此時F_安=BIl=1T×0.6A×0.5m=0.3N，
則3s末，拉力F=mgsin30°+F_安+ma=0.85N，
t=3s時I=0.6A，由I=

Blv

R+r

可知，t=3s時，棒的速度v=1.5m/s，
3.0s末力F的瞬時功率P=Fv=0.85N×1.5m/s=1.275W；
（3）通過R與r的電流I相等，由焦耳定律得：

Qr

QR

=

I2rt

I2Rt

=

r

R

=

0.25Ω

1Ω

=

1

4

，則Q_r=

1

4

Q_R=

1

4

×0.64J=0.16J，
在該過程中電路中產生的總熱量為：Q_總=Q_r+Q_R=0.8J，
在導體棒運動的過程中，克服安培力做的功轉化為焦耳熱，
因此在該過程中，安培力做的功W_安=-Q_總=-0.8J，
對金屬棒，在0～4.0s內，導體棒的位移：
x=

1

2

at²=

1

2

×0.5m/s²×（4s）²=4m，
重力做的功W_G=-mgxsin30°=-0.1kg×10m/s²×4m×

1

2

=-2J，
t=4s時，v=2m/s，由動能定理得：
W_F+W_安+W_G=

1

2

mv²-0，
解得，F對金屬棒所做的功：W_F=3.64J；
答：（1）4.0s末金屬棒ab瞬時速度的是2m/s．
（2）3.0s末力F的瞬時功率是1.275W．
（3）0～4.0s時間內F對金屬棒所做的功是3.64J．