Question

（2011?泗陽縣一模）在水平長直的軌道上，有一長度為L的平板車在外力控制下始終保持速度v₀做勻速直線運動．某時刻將一質量為m的小滑塊輕放到車面的中點，滑塊與車面間的動摩擦因數為μ．
（1）證明：若滑塊最終停在小車上，滑塊和車摩擦產生的內能與動摩擦因數μ無關，是一個定值．
（2）已知滑塊與車面間動摩擦因數μ=0.2，滑塊質量m=1kg，車長L=2m，車速v₀=4m/s，取g=10m/s²，當滑塊放到車面中點的同時對該滑塊施加一個與車運動方向相同的恒力F，要保證滑塊不能從車的左端掉下，恒力F大小應該滿足什么條件？
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時間應該在什么范圍內？

Answer 1

分析：（1）滑塊和車摩擦產生的內能等于滑塊和車之間摩擦力做的功，該功等于滑動摩擦力×滑塊相對于小車的位移；
（2）滑塊不從左端掉下來，即滑塊相對于車的位移不能大于

車長

2

，列式可得；
（3）力F取最小值時，滑塊剛好不會在最左端滑下，此時滑塊與車速度相同，可求得力F作用的最短時間tmin=

v0

a

；如果此時力繼續作用，滑塊將在F作用下以v₀向右加速運動，為不從最右端滑出，滑塊須加速運動一段時間t后力F停止作用，在阻力作用下再做減速運動，當滑到達最右端時與車同速，此時力F作用的時間最大，最大時間為：t_max=t_min+t．

解答：解：（1）根據牛頓第二定律，滑塊相對車滑動時的加速度a=

μmg

m

=μg
滑塊相對車滑動的時間 t=

v0

a

滑塊相對車滑動的距離  s=v0t-

v 2 0

2a

 
滑塊與車摩擦產生的內能  Q=μmgs
由上述各式解得  Q=

1

2

m

v

2 0

（與動摩擦因數μ無關的定值）
（2）設恒力F取最小值為F₁，滑塊加速度為a₁，此時滑塊恰好到達車的左端，則
滑塊運動到車左端的時間  t1=

v0

a1

①
由幾何關系有  v0t1-

v0

2

t1=

L

2

②
由牛頓定律有  F₁+μmg=ma₁③
由①②③式代入數據解得  t₁=0.5s，F₁=6N
則恒力F大小應該滿足條件是  F≥6N
（3）力F取最小值，當滑塊運動到車左端后，為使滑塊恰不從右端滑出，相對車先做勻加速運動（設運動加速度為a₂，時間為t₂），再做勻減速運動（設運動加速度大小為a₃）．到達車右端時，與車達共同速度．則有F₁-μmg=ma₂④
μmg=ma₃⑤

1

2

a2

t

2 2

+

a 2 2 t 2 2

2a3

=L⑥
由④⑤⑥式代入數據解得t2=

3

3

s=0.58s
則力F的作用時間t應滿足  t₁≤t≤t₁+t₂，即0.5s≤t≤1.08s

點評：對物體運動的正確判斷，物體從端不滑下的前提是車的位移-物體的位移小于

車身長度

2

，物體不從右端滑出，物體在力F作用下加速運動，當撤去F后，物體在滑動摩擦力作用下做減速直線運動，當速度與車相同時，注意車和物體的位移關系．