Question

如圖所示，左圖是游樂場中過山車的實物圖片，右圖是過山車的原理圖．在原理圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個光滑圓形軌道，固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q、Z兩點，且兩圓形軌道的最高點A、B均與P點平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現使小車（視作質點）從P點以一定的初速度沿斜面向下運動．已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數為μ=

1

24

．問：（已知：g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan（

a

2

）=

sina

1+cosa

．結果可保留根號．）

（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處，則其在P點的初速度應為多大？
（2）若小車在P點的初速度為10m/s，則小車能否安全通過兩個圓形軌道？

Answer 1

分析：（1）小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小球經過A點的速度．由幾何知識求出P、Q間的距離S_PQ，運用動能定理研究小球從P到A的過程，求解P點的初速度．
（2）首先根據小車在P點的初速度10m/s，與第一問中v₀比較，分析小車能否安全通過圓弧軌道O₁．若小車恰能通過B點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程，求出小車通過B點的臨界速度，根據動能定理求出小車在P點的臨界速度，再確定小車能否安全通過兩個圓形軌道．

解答：解：（1）小車恰好過A點，由牛頓第二定律有
     mg=m

v 2 A

R1

小球P到A的過程中，由動能定理有
-μmgcosα?S_PQ=

1

2

m

v

2 A

-

1

2

m

v

2 0

由幾何關系可得  S_PQ=

R1(1+cosα)

sinα

代入數據可得 v₀=2

6

m/s              
（2）小車以v=10m/s的初速度從P點下滑時，因為有v=10m/s＞v₀=2

6

m/s
所以小車可以通過圓弧軌道O₁，設小車恰好能通過B點，
由牛頓第二定律有 mg=m

v 2 B

R2

                            
則P到B由動能定理得 
-μmgcosα?S_PZ=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 P

          
其中  S_PZ=

R2(1+cosα)

sinα

                                    
代入數據可得   v_P=

96

m/s                                 
因為v_P=

96

m/s＜10m/s，所以小車能安全通過兩個圓形軌道．
答：
（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處，則其在P點的初速度應為2

6

m/s；
（2）若小車在P點的初速度為10m/s，小車能安全通過兩個圓形軌道．

點評：對于物體在豎直平面內光滑圓軌道最高點的臨界速度v=

gr

，要在理解的基礎上加強記憶，圓周運動往往與動能定理、機械能守恒等進行綜合．本題難點在于運用幾何知識求距離．中等難度．