Question

兩根長直軌道與一半徑為R的半圓型圓弧軌道相接于A、C兩點，B點為軌道最低點，O為圓心，軌道各處光滑且固定在豎直平面內．質量均為m的兩小環P、Q用長為

2

R的輕桿連接在一起，套在軌道上．將MN兩環從距離地面2R處由靜止釋放，整個過程中輕桿和軌道始終不接觸，重力加速度為g，求：
（1）當P環運動到A點時的速度v；
（2）當P環運動到B點時，系統減少的重力勢能△E_P；
（3）在運動過程中，P環和Q環能達到的最大動能之和．

Answer 1

分析：（1）輕桿下滑過程，系統的機械能守恒，確定出兩環下降的高度，即可由求得P環運動到A點時的速度v；
（2）根據系統的機械能守恒求解P環運動到B點時，系統減少的重力勢能△E_P；
（3）當系統質心下降到最低處時，系統達到的速度最大，此時PQ離O點豎直高度為

2

2

，根據重心下降的高度和系統的機械能守恒列式求解．

解答：解：（1）根據兩環組成的系統機械能守恒得：
  2mgR=

1

2

×2m

v

2

解得，v=

2gR

（2）當P環運動到B點時，系統減少的重力勢能△E_P=mg?2R+mg（R+

2

R）=（3+

2

）mgR．
 （3）當系統質心下降到最低處時，系統達到的速度最大，P、Q動能之和最大，此時MN離O點豎直高度為

2

2

R
則根據系統的機械能守恒得：
有mg（1+

2

2

）R+mg（

2

+1+

2

2

）R=E_k；
得到 P環和Q環能達到的最大動能之和為：E_k=2（

2

+1）mgR．
答：
（1）當P環運動到A點時的速度v是

2gR

；
（2）當P環運動到B點時，系統減少的重力勢能△E_P是（3+

2

）mgR．
（3）在運動過程中，P環和Q環能達到的最大動能之和為2（

2

+1）mgR．

點評：本題關鍵是根據幾何關系多次得到環的具體位置，然后根據機械能守恒定律列方程求解即可．