Question

如圖所示，M、N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板，板上有正對的小孔，N板右側有兩個寬度分別為d和2d的勻強磁場區(qū)域，磁感應強度大小分別為2B和B，方向分別垂直于紙面向里和向外．板左側電子經(jīng)小孔O₁進入兩板間，O₂在磁場邊界上，O₁ O₂連線過板上正對的小孔且與磁場邊界垂直，電子的質量為m，電荷量大小為e，電子重力和進入兩板間初速度可以忽略．求：
（1）當兩板間電勢差為U₀時，求從N板小孔射出的電子的速度v₀；
（2）兩金屬板間電勢差U在什么范圍內，電子不能進入右側磁場區(qū)域；
（3）如果電子從右邊界的P點穿出，P與O₂間距離為2d，求兩金屬板間電勢差U大小．

Answer 1

分析：（1）電子在電場中被直線加速，由動能定理可求出電子從N板小孔射出的速度v₀大小．
（2）當電子進入勻強磁場中在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，當其運動軌跡的半徑小于磁場寬度d時，不能進入右側磁場區(qū)域；根據(jù)半徑公式r=

mv

qB

和動能定理結合求解．
（3）由幾何關系可列出電子在右側磁場中的軌跡半徑，再由半徑公式r=

mv

qB

和動能定理結合求解．

解答：解：（1）根據(jù)動能定理，得：
  eU0=

1

2

m

v

2 0

 
 解得：v0=

2eU0 m

（2）欲使電子不能穿過磁場區(qū)域而打在熒光屏上，應有  r=

mv

2eB

＜d． 
而eU=

1

2

mv2
由此即可解得，U＜

2d2eB2

m

（3）若電子在左邊磁場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑為r_l，右邊磁場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑為r₂，有r₂=2r_l．
則由軌跡圖，由幾何關系可得：

.

O2P

=r1-

r 2 1 -d2

+r2-

r 2 2 -(2d)2

即  2d=3r1-3

r 2 1 -d2

解得：r1=

13

12

d
注意到 r1=

mv

2eB

和 eU=

1

2

mv2
解得，U=

169eB2d2

72m

答：
（1）當兩板間電勢差為U₀時，從N板小孔射出的電子的速度v₀為

2eU0 m

．
（2）兩金屬板間電勢差U在U＜

2d2eB2

m

范圍內，電子不能進入右側磁場區(qū)域；
（3）如果電子從右邊界的P點穿出，P與O₂間距離為2d，兩金屬板間電勢差U大小是

169eB2d2

72m

．

點評：解答本題的關鍵是運用幾何知識，挖掘出題中隱含條件是：粒子能打到熒光屏離O點最遠的即為圓弧軌道半徑與磁場寬度相等時的粒子．