Question

如圖所示，將傾角θ=30°、表面粗糙的斜面固定在地面上，用一根輕質細繩跨過兩個光滑的半徑很小的滑輪連接甲、乙兩物體（均可視為質點），把甲物體放在斜面上且細繩與斜面平行，把乙物體懸在空中，并使細繩拉直且偏離豎直方向α=60°．開始時甲、乙均靜止．現同時釋放甲、乙兩物體，乙物體將在豎直平面內往返運動，測得繩長OA為l=0.5m，當乙物體運動經過最高點和最低點時，甲物體在斜面上均恰好未滑動，已知乙物體的質量為  m=1kg，忽略空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²，求：
（1）乙物體在豎直平面內運動到最低點時的速度大小以及所受的拉力大小；
（2）甲物體的質量以及斜面對甲物體的最大靜摩擦力的大小；
（3）斜面與甲物體之間的動摩擦因數μ（設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出乙物體運動到最低點的速度，在最低點，拉力和重力的合力提供圓周運動的向心力．
（2）乙物體擺到最低點時拉力最大，擺到最高點時拉力最下，知乙物體擺到最低點時，甲物體達到向下的最大靜摩擦力，擺到最高點時，甲物體有向上的最大靜摩擦力．分別求出乙物體在最高點和最低點繩子的拉力，然后對甲物體列出平衡方程，解出甲物體的質量和最大靜摩擦力大小．
（3）根據f=μF_n求出斜面與甲物體的動摩擦因數．

解答：解：（1）根據動能定理得，mgL（1-cosα）=

1

2

mv2
      代入數據，則v=

5

m/s
T-mg=m

v2

L

，則T=mg+m

v2

L

=10+1×

5

0.5

N=20N
故乙物體擺到最低點的速度為

5

m/s，此時繩子的拉力為20N．
（2）物體擺到最低點時繩子的拉力F₁=20N
物體擺到最高點時有：mgcosα=F₂=5N．
對甲物體有：F₁=f_m+m_甲gsinθ
           F₂+f_m=m_甲gsinθ
聯立兩式解得：f_m=7.5N，m_甲=2.5kg
（3）最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．則有f_m=μmgcosθ
所以μ=

fm

m甲gcosθ

=

7.5

25× 3 2

≈0.35
故斜面與甲物體之間的動摩擦因數μ為0.35．

點評：解決本題的關鍵知道乙物體擺到最低點時有最大拉力，擺到最高點時有最小拉力．以及知道在乙物體擺到最低點時有沿斜面向下的最大靜摩擦力，擺到最高點時有沿斜面向上的最大靜摩擦力．