Question

如圖所示，在同時(shí)存在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場的空間中取正交坐標(biāo)系Oxyz（x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上）．勻強(qiáng)磁場方向與Oxy平面平行，且與x軸的夾角為45°，重力加速度為g．
（1）一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電質(zhì)點(diǎn)沿平行于z軸正方向以速度v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求滿足條件的電場強(qiáng)度的最小值E_min及對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）在滿足（1）的條件下，當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)通過y軸上的點(diǎn)P（0，h，0）時(shí)，撤去勻強(qiáng)磁場，求帶電質(zhì)點(diǎn)落在Oxz平面內(nèi)的位置；
（3）當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)沿平行于z軸負(fù)方向以速度v₀通過y軸上的點(diǎn)P（0，h，0）時(shí)，改變電場強(qiáng)度大小和方向，同時(shí)改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，要使帶點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且能夠經(jīng)過x軸，問電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）帶電質(zhì)點(diǎn)受到重力mg（大小及方向均已知）、洛倫茲力qv₀B（方向已知）、電場力qE（大小及方向均未知）的作用做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)力三角形知識分析可知：當(dāng)電場力方向與磁場方向相同時(shí)，場強(qiáng)有最小值E_min．根據(jù)物體的平衡規(guī)律列式即可求解；
（2）撤去磁場后，帶電質(zhì)點(diǎn)受到重力mg和電場力qE_min作用，其合力沿PM方向并與v₀方向垂直，大小等于qv₀B=

2

2

mg，故帶電質(zhì)點(diǎn)在與Oxz平面成45°角的平面內(nèi)作類平拋運(yùn)動(dòng)．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及運(yùn)動(dòng)的合成與分解即可求解；
（3）當(dāng)電場力和重力平衡時(shí)，帶點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)才能只受洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)電場力等于重力，洛倫茲力通過向心力列式即可求解．

解答：解：（1）如圖1所示，帶電質(zhì)點(diǎn)受到重力mg（大小及方向均已知）、洛倫茲力qv₀B（方向已知）、電場力qE（大小及方向均未知）的作用做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)力三角形知識分析可知：當(dāng)電場力方向與磁場方向相同時(shí)，場強(qiáng)有最小值E_min．根據(jù)物體的平衡規(guī)律有
qE_min=mgsin45°                     
qv₀B=mgcos45°
解得Emin=

2 mg

2q

                     
B=

2 mg

2qv0

                        
（2）如圖2所示，撤去磁場后，帶電質(zhì)點(diǎn)受到重力mg和電場力qE_min作用，其合力沿PM方向并與v₀方向垂直，大小等于qv₀B=

2

2

mg，故帶電質(zhì)點(diǎn)在與Oxz平面成45°角的平面內(nèi)作類平拋運(yùn)動(dòng)．
由牛頓第二定律 qv₀B=ma
解得 a=

2

2

g 
設(shè)經(jīng)時(shí)間t到達(dá)Oxz平面內(nèi)的點(diǎn)N（x，y，z），由運(yùn)動(dòng)的分解可得
沿v₀方向  Z=v₀t
沿PM方向  PM=

1

2

at2
又 PM=

h

sin45°

   
x=htan45°
聯(lián)立解得 x=h   
z=2v0

h g

 
則帶電質(zhì)點(diǎn)落在N（h，0，2v0

h g

 ）點(diǎn) 
（3）當(dāng)電場力和重力平衡時(shí)，帶點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)才能只受洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
則有：Eq=mg
得：E=

mg

q

要使帶點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過x軸，圓周的直徑為

2

h
根據(jù)qv₀B=m

v02

r

得B=

2 mv0

2qh

答：（1）電場強(qiáng)度的最小值為

2 mg

2q

，對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

2 mg

2qv0

；
（2）在滿足（1）的條件下，當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)通過y軸上的點(diǎn)P（0，h，0）時(shí)，撤去勻強(qiáng)磁場，帶電質(zhì)點(diǎn)落在Oxz平面內(nèi)的位置坐標(biāo)為（h，0，2v0

h g

 ）；
（3）當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)沿平行于z軸負(fù)方向以速度v₀通過y軸上的點(diǎn)P（0，h，0）時(shí)，改變電場強(qiáng)度大小和方向，同時(shí)改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，要使帶點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且能夠經(jīng)過x軸，電場強(qiáng)度E為

mg

q

，磁感應(yīng)強(qiáng)度為

2 mv0

2qh

．

點(diǎn)評：本題是帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)問題，分勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)和類似平拋運(yùn)動(dòng)三種情況進(jìn)行研究，難道適中．