Question

【題目】在如圖甲所示的半徑為r的豎直圓柱形區域內，存在豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小隨時間的變化關系為B=kt（k>0且為常量）。

（1）將一由細導線構成的半徑為r、電阻為R0的導體圓環水平固定在上述磁場中，并使圓環中心與磁場區域的中心重合。求在T時間內導體圓環產生的焦耳熱。

（2）上述導體圓環之所以會產生電流是因為變化的磁場會在空間激發渦旋電場，該渦旋電場趨使導體內的自由電荷定向移動，形成電流。如圖乙所示，變化的磁場產生的渦旋電場存在于磁場內外的廣闊空間中，其電場線是在水平面內的一系列沿順時針方向的同心圓（從上向下看），圓心與磁場區域的中心重合。在半徑為r的圓周上，渦旋電場的電場強度大小處處相等，并且可以用計算，其中e為由于磁場變化在半徑為r的導體圓環中產生的感生電動勢。如圖丙所示，在磁場區域的水平面內固定一個內壁光滑的絕緣環形真空細管道，其內環半徑為r，管道中心與磁場區域的中心重合。由于細管道半徑遠遠小于r，因此細管道內各處電場強度大小可視為相等的。某時刻，將管道內電荷量為q的帶正電小球由靜止釋放（小球的直徑略小于真空細管道的直徑），小球受到切向的渦旋電場力的作用而運動，該力將改變小球速度的大小。該渦旋電場力與電場強度的關系和靜電力與電場強度的關系相同。假設小球在運動過程中其電荷量保持不變，忽略小球受到的重力、小球運動時激發的磁場以及相對論效應。

①若小球由靜止經過一段時間加速，獲得動能Em，求小球在這段時間內在真空細管道內運動的圈數；

②若在真空細管道內部空間加有方向豎直向上的恒定勻強磁場，小球開始運動后經過時間t0，小球與環形真空細管道之間恰好沒有作用力，求在真空細管道內部所加磁場的磁感應強度的大小。

Answer 1

【答案】（1）（2）①；②

【解析】試題（1）導體圓環內的磁通量發生變化，將產生感生電動勢，根據法拉第電磁感應定律，感生電動勢為：

導體圓環內感生電流為：

在T時間內導體圓環產生的焦耳熱為：Q=I2R0T

解得：

（2）①根據題意可知，磁場變化將在真空管道處產生渦旋電場，該電場的電場強度為：

小球在該電場中受到電場力的作用，電場力的大小為：

電場力的方向與真空管道相切，即與速度方向始終相同，小球將會被加速，動能變大．設小球由靜止到其動能為Em的過程中，小球運動的路程為s，

根據動能定理有：Fs=Em

小球運動的圈數為：

解得：

②小球的切向加速度大小為：

由于小球沿速度方向受到大小恒定的電場力，所以經過時間t0，小球的速度大小v滿足v=at0

小球沿管道做圓周運動，因為小球與管道之間沒有相互作用力，所以，小球受到的洛倫茲力提供小球的向心力，設所加磁場的磁感應強度為B0，

則有：

解得：