Question

（2013?開封一模）如圖所示，質量為M的汽車通過質量不計的繩索拖著質量為m的車廂（可作為質點）在水平地面上由靜止開始做直線運動．已知汽車和車廂與水平地面間的動摩擦因數均為μ，汽車和車廂之間的繩索與水平地面間的夾角為θ，汽車的額定功率為P，重力加速度為g，不計空氣阻力．為使汽車能盡快地加速到最大速度又能使汽車和車廂始終保持相對靜止，問：
（1）汽車所能達到的最大速度為多少？
（2）汽車能達到的最大加速度為多少？
（3）汽車以最大加速度行駛的時間為多少？

Answer 1

分析：（1）對汽車和車廂整體分析，當牽引力等于阻力時，速度最大．求出阻力，根據P=Fv=fv，求出最大速度．
（2）對車廂隔離分析，當車廂所受的支持力為0，此時加速度最大．根據車廂在豎直方向上合力等于0，水平方向上產生合力求出最大加速度．
（3）根據牛頓第二定律求出加速度最大時的牽引力，根據P=Fv，求出勻加速直線運動的最大速度，根據v=at求出勻加速直線運動的時間．

解答：解：（1）當汽車達到最大速度時汽車的功率為P且牽引力與汽車和車廂所受摩擦力大小相等，即F=f
由于在整個運動過程中汽車和車廂保持相對靜止，所以汽車和車廂所受的摩擦力為
f=μ（M+m）g
又  P=Fv
由上述三式可知汽車的最大速度為：v=

P

μ(M+m)g

．
答：汽車所能達到的最大速度為v=

P

μ(M+m)g

．
（2）要保持汽車和車廂相對靜止，就應使車廂在整個運動過程中不脫離地面．
考慮臨界情況為車廂剛好未脫離地面，此時車廂受到的力為車廂重力和繩索對車廂的拉力T，
設此時車廂的最大加速度為a，則有：
水平方向  Tcosθ=ma
豎直方向 Tsinθ=mg              　
由上兩式得：a=gcotθ
答：汽車能達到的最大加速度為gcotθ．
（3）因為此時汽車作勻加速運動，所以
F-f=（M+m）a
f=μ（m+M）g　　 
即  F=（μ+cotθ）（M+m）g
因汽車達到勻加速最大速度時汽車的功率達到額定功率，根據P=Fv_m．
由題意知，汽車一開始就做加速度最大的勻加速運動，勻加速的最大速度為 v_m=at
所以以最大加速度勻加速的時間為：t=

P

(μ+cotθ)(m+M)g2cotθ

．
答：汽車以最大加速度行駛的時間為

P

(μ+cotθ)(m+M)g2cotθ

．

點評：本題綜合運用了整體法和隔離法，知道當牽引力等于阻力時，速度最大．以恒定加速度運動，求出牽引力，即可得出勻加速直線運動的最大速度．