Question

相距很近的平行板電容器，在兩板中心各開有一個小孔，如圖甲所示，靠近A板的小孔處有一電子槍，能夠持續均勻地發射出電子，電子的初速度為v₀，質量為m，電量為-e，在AB 兩板之間加上圖乙所示的交變電壓，其中0< k <1，；緊靠B 板的偏轉電場電壓也等于U0 ，板長為L，兩板間距為d，距偏轉極板右端處垂直放置很大的熒光屏PQ。不計電子的重力和它們之間的相互作用，電子在電容器中的運動時間可以忽略不計。

（1）在0—T 時間內，熒光屏上有兩個位置會發光，試求這兩個發光點之間的距離。（結果用L、d 表示，第2 小題亦然）
（2）只調整偏轉電場極板的間距（仍以虛線為對稱軸），要使熒光屏上只出現一個光點，極板間距應滿足什么要求？
（3）撤去偏轉電場及熒光屏，當k 取恰當的數值，使在0—T 時間內通過電容器B 板的所有電子，能在某一時刻形成均勻分布的一段電子束，求k 值。

Answer 1

(1)  (2)  (3)0.59

（1）電子經過電容器內的電場后，速度要發生變化
在0-kT時間內，設穿出B板后速度為，據動能定理將
代入后得
在偏轉電場中，電子的運動時間，側移量
代入后得
根據偏轉電場中的推論“似是終點來”可知其打在熒光屏上的坐標
在0-kT時間內設穿出B板后速度為，同理可得
，，
故兩個發光點之間的距離
（2）考慮臨界條件：當極板間距為d時，電子剛從偏轉極板邊緣飛出
則有，整理得
對應速度時，
對應速度時，
要使熒光屏上只出現一個光點，極板間距d應滿足
（3）要求在某一時刻形成均勻分布的一段電子術，前后兩段電子束的長度必須相等（且剛好重疊）
第一束長度，第二束長度
當時，即 解得