Question

【題目】2007年10月24日，中國首顆探月衛星“嫦娥一號”在西昌衛星發射中心發射升空，準確進入預定軌道．隨后，“嫦娥一號”經過變軌和制動成功進入環月軌道．如圖所示，陰影部分表示月球，設想飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ上作勻速圓周運動，到達A點時經過暫短的點火變速，進入橢圓軌道Ⅱ，在到達軌道Ⅱ近月點B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道Ⅲ，而后飛船在軌道Ⅲ上繞月球作勻速圓周運動．已知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0．不考慮其它星體對飛船的影響，求：

（1）飛船在軌道Ⅰ、Ⅲ的速度之比．

（2）飛船從軌道Ⅱ上遠月點A運動至近月點B所用的時間．

（3）如果在Ⅰ、Ⅲ軌道上有兩只飛船，它們繞月球飛行方向相

同，某時刻兩飛船相距最近（兩飛船在月球球心的同側，且兩飛船與月球球心在同一直線上），則經過多長時間，他們又會相距最近？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：根據萬有引力提供圓周運動向心力，由半徑與關系求得速度之比；根據開普勒行星定律由半長軸的關系求得周期，從遠月點飛到近月點所用時間為橢圓軌道的一半周期；相距最近時，兩飛船中運得快的比運動得慢的多繞月飛行n周，根據角速度關系求解所用時間即可。

（1）由萬有引力提供向心力有：，解得：

所以：

（2）設飛船在軌道I上的運動周期為T1，在軌道I有：

在月球表面有：

由以上可得：

設飛船在軌道II上的運動周期T2，而軌道II的半長軸為2.5R，

根據開普勒定律得：

可解得：

所以飛船從A到B的飛行時間為：

（3）設飛船在軌道I上的角速度為ω1、在軌道III上的角速度為ω3，有：

所以

設飛飛船再經過t時間相距最近，有：ω3t﹣ω1t=2nπ

所以