Question

【題目】如圖所示，一軌道由半徑為2 m的四分之一豎直圓弧軌道AB和長度可以調節的水平直軌道BC在B點平滑連接而成。現有一質量為0.2 kg的小球從A點無初速度釋放，經過圓弧上的B點時，傳感器測得軌道所受壓力大小為3.6 N，小球經過BC段所受阻力為其重力的0.2倍，然后從C點水平飛離軌道，落到水平面上的P點，P、C兩點間的高度差為3.2 m。小球運動過程中可以視為質點，且不計空氣阻力。

（1）求小球運動至B點的速度大小；

（2）求小球在圓弧軌道上克服摩擦力所做的功；

（3）為使小球落點P與B點的水平距離最大，求BC段的長度；

（4）小球落到P點后彈起，與地面多次碰撞后靜止。假設小球每次碰撞機械能損失75%，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等。求小球從C點飛出后靜止所需的時間。

Answer 1

【答案】（1）4m/s（2）2.4J（3）3.36m（4）2.4s

【解析】試題分析：（1）小球在B點受到的重力與支持力的合力提供向心力，由此即可求出B點的速度；（2）根據動能定理即可求出小球在圓弧軌道上克服摩擦力所做的功；（3）結合平拋運動的公式，即可求出為使小球落點P與B點的水平距離最大時BC段的長度；（4）由機械能的損失求出速度的損失，然后結合豎直上拋運動的公式求出各段時間，最后求和即可；

（1）小球在B點受到的重力與支持力的合力提供向心力，則：

代入數據可得：

（2）A到B的過程中重力和阻力做功，則由動能定理可得：

代入數據得：

（3）B到C的過程中，由動能定理得：

解得：

從C點到落地的時間：

B到P的水平距離：

代入數據，聯立并整理可得：

可知。當時，P到B的水平距離最大，為L=3.36m

（4）由于小球每次碰撞機械能損失75%，由，則碰撞后的速度為碰撞前速度的，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等，則碰撞后豎直方向的分速度為碰撞前豎直方向分速度的，所以第一次碰撞后上升到最高點的時間等于從C點到落地的時間的，所以從第一次碰撞后到發生第二次碰撞的時間：，同理，從第二次碰撞后到發生第三次碰撞的時間：，由此類推可知，從第n次碰撞后到發生第n+1次碰撞的時間：

小球運動的總時間：

由數學歸納法分可得：