Question

如圖所示，固定的光滑絕緣圓形軌道豎直放置，處于水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．已知圓形軌道半徑R=2.00m，AD為其水平直徑．磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.00T，方向垂直于紙面向內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=1.00×10²V/m，方向水平向右．一個(gè)質(zhì)量m=4.00×10^-2kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）在軌道上的C點(diǎn)恰好處于靜止?fàn)顟B(tài)，OC與豎直直徑的夾角θ=37°（g取10m/s²，sin37°=0.6，計(jì)算結(jié)果要求保留三位有效數(shù)字）
（1）求小球帶何種電荷，電荷量q是多少？
（2）現(xiàn)將電場(chǎng)突然反向，但強(qiáng)弱不變，因電場(chǎng)的變化而產(chǎn)生的磁場(chǎng)可忽略不計(jì)，小球始終在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，試求在小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與初始位置的電勢(shì)差最大值U_m是多少？對(duì)軌道的最大壓力是多大？

Answer 1

分析：（1）帶電小球處于勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在軌道上的C點(diǎn)恰好處于靜止?fàn)顟B(tài)，則受到電場(chǎng)力、支持力與重力，由此可確定，電場(chǎng)力的方向及電場(chǎng)力的大小，從而求出帶電小球的電量．
（2）若電場(chǎng)突然反向，但強(qiáng)弱不變，帶電小球在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電場(chǎng)力做功最大的位置就是與初始位置的電勢(shì)差最大值U_m的位置．由于負(fù)電荷，因此逆著電場(chǎng)線方向離C點(diǎn)最遠(yuǎn)的位置，就是電勢(shì)差最大的位置．而速度最大位置則是軌道壓力最大的位置．因此當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到支持力的方向跟重力和電場(chǎng)力的合力方向在一條直線上時(shí)，速度達(dá)到最大．

解答：解：（1）由平衡條件有：tanθ=

qE

mg

q=

mgtanθ

E

=

4.00×10-2×10×0.75

100

C=3.00×10-3C  帶負(fù)電荷
（2）電場(chǎng)反向后，電場(chǎng)力和重力的合力F大小仍為

mg

cosθ

=0.5N不變，方向與豎直方向夾角為θ=37°指向右下方．
小球的平衡位置O′，OO′與OC的夾角為2θ=74°，故小球從C點(diǎn)開(kāi)始向O′做加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)O′時(shí)速度最大．
根據(jù)對(duì)稱性，小球會(huì)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到與OO′成2θ=74°的C′點(diǎn)，即在CC′之間振動(dòng)．
由圖可知，C點(diǎn)與同O等高的D點(diǎn)間電勢(shì)差最大，由U=Ed得：U_m=ER（1+sinθ）=320 V
小球經(jīng)過(guò)平衡位置O′點(diǎn)時(shí)速度最大，當(dāng)小球從C運(yùn)動(dòng)到O′點(diǎn)時(shí)，由左手定則可判斷洛倫茲力沿OO′方向向下，此時(shí)小球?qū)�軌道的壓力最大．從C到OO′
由動(dòng)能定理得：qE?2Rsinθ=

1

2

mv2
在O′點(diǎn)，由牛頓第二定律得　FN-F-qvB=m

v2

R

即FN=F+qvB+m

v2

R

=1.24N
由牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力F_N'=F_N=1.24 N
答：（1）小球帶負(fù)電荷，電荷量q是3×10^-3C；
（2）現(xiàn)將電場(chǎng)突然反向，但強(qiáng)弱不變，因電場(chǎng)的變化而產(chǎn)生的磁場(chǎng)可忽略不計(jì)，小球始終在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與初始位置的電勢(shì)差最大值U_m是320V；對(duì)軌道的最大壓力是1.24N．

點(diǎn)評(píng)：考查對(duì)研究對(duì)象受力分析，并由平衡條件來(lái)確定力的方向．同時(shí)運(yùn)用了牛頓第二、三定律及動(dòng)能定理．體現(xiàn)了電勢(shì)差最大即為電場(chǎng)力做功最多．還有此處可將電場(chǎng)力與重力可等效成一個(gè)力．則可以很容易判定速度最大的位置．